Раздел 1. Линейная алгебра.

Группа	Дата
ОП-253	24.01.2014
ОП-254	24.01.2014

Тема 1.4 Системы линейных алгебраических уравнений (слау).

1.4.1 Основные понятия.

Задачи, соответствующие современным задачам на составление и решение систем уравнений с несколькими неизвестными, встречаются еще в вавилонских и египетских рукописях II века до н.э., а также в трудах древнегреческих, индийских и китайских мудрецов. В китайском трактате "Математика в девяти книгах" словесно изложены правила решения систем уравнений, были замечены некоторые закономерности при решении.

Система может состоять из алгебраических уравнений, линейных алгебраических уравнений, нелинейных уравнений, дифференциальных уравнений.

Методы решения системы уравнений зависят от типа системы. Например, решения систем линейных алгебраических уравнений хорошо известны (метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод, метод итераций и т.д.). Для нелинейных же систем общего аналитического решения не найдено, они решаются разного рода численными методами. Аналогично дело обстоит и с системами дифференциальных уравнений.

Системы линейных уравнений широко используются в задачах экономики, физики, химии и других науках.

Решение систем линейных алгебраических уравнений - одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения именно системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для прикладных задач, но от умения эффективно решать данные системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности - нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

,

где числа a_ij называются коэффициентами системы, числа b_i— свободными членами. x_n – неизвестные системы.

Матрица А

называется матрицей системы или матрицей коэффициентов системы.

Расширенной матрицей системы называется матрица, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называется n значений неизвестных  х₁=c₁, x₂=c₂, ..., x_n=c_n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях системы, к которым относятся:

• перестановка уравнений системы;

• умножение и деление коэффициентов системы и свободных членов на одно и то же число;

• сложение и вычитание уравнений системы;

• исключение из системы уравнений, коэффициенты и свободные члены которых равны нулю.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как  x₁=x₂=x₃=...=x_n=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.