Свойства ортогональных векторов

1. Для любого : 0 .

2. Если , то х=0.

3. Если для любого , то .

4. Если , то для любых ,  R: xу.

5. Если , , то для любых ,  R: (x+у) z.

6. Если , то (теорема Пифагора).

Базис евклидова пространства Е называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны, то есть при .

Теорема 2. Координаты вектора в ортогональном базисе можно вычислить по формуле

, .

Базис евклидова пространства (dim Е=n) называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице, то есть

.

Теорема 3. В любом n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

В частности, в пространстве ортонормированным является базис , состоящий из единичных векторов , у которых -тая компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю, то есть

Теорема 4. Координаты вектора в ортонормированном базисе можно вычислить по формуле

.

Полученные соотношения можно записать в следующем виде:

.

Теорема 5. Пусть – ортонормированный базис. Если и , то

(6)

.

Пример 4. Проверить, что векторы х=(2,1,1) и у=(1,-1,-1) ортогональны и дополнить их до ортогонального базиса пространства Е³.

Решение. Найдем скалярное произведение векторов х и у по формуле (1):

(х,у)=2∙1+1∙ (-1)+1∙ (-1)=0.

Так как (х,у)=0, то векторы х и у ортогональны.

Пусть В={e₁,e₂,e₃} – ортогональный базис пространства Е³. Тогда е₁=х, е₂=у, е₃=z, где z=(z ,z ,z ).

По условию задачи

Решим последнюю систему методом Гаусса:

~   n=3, r=2, s=n-r=1.

z₃ - свободное неизвестное

Общее решение последней системы имеет вид (0,-z₃,z₃). Пусть z₃=1, тогда получим частное решение (0,-1,1).

Следовательно, вектор z=(0,-1,1) дополняет векторы х=(2,1,1) и у=(1,-1,-1) до ортогонального базиса пространства Е³.

3.5. Линейные операторы

Пусть даны два линейных пространства и .

Если задан закон (правило) , по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор пространства , то говорят, что задан оператор , действующий из в и записывают или : .

Вектор называется образом вектора при действии оператора , а сам вектор - прообразом вектора .

Если пространства и совпадают, то оператор отображает пространство в себя и иначе называется преобразованием линейного пространства . Именно такие операторы будем рассматривать в дальнейшем.

Оператор , действующий в линейном пространстве , называется линейным, если для любых векторов , из и любого числа выполняются равенства:

1) ;

2) .

Примеры линейных операторов

1. Нуль-оператор ставит в соответствие каждому вектору хL нулевой вектор 0: .

2. Тождественный или единичный оператор ставит в соответствие каждому вектору хL этот же вектор: .

3. Оператор подобия с коэффициентом подобия ставит в соответствие каждому вектору хL пропорциональный вектор : .