3.4. Евклидово пространство

В действительном линейном пространстве определено скалярное произведение, если каждой упорядоченной паре векторов поставлено в соответствии однозначно определенное действительное число, называемое скалярным произведением этих векторов, обозначаемое и обладающее следующими свойствами: для любых и :

1) (коммутативность сомножителей);

2) (распределительное свойство);

3) ;

4) , если и , если .

Действительное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется евклидовым пространством.

Произвольное евклидово пространство часто обозначают буквой или ; индекс указывает размерность пространства.

Если в n-мерном арифметическом векторном пространстве задано скалярное произведение векторов и по формуле

(1)

то такое пространство называется n-мерным арифметическим евклидовым пространством и обозначается .

Пример 1. Предприятие выпускает 4 вида продукции Р₁, Р₂, Р₃ и Р₄ в количествах 50, 80, 20, 120 единиц. При этом нормы расхода сырья составляют соответственно 7, 3.5, 10 и 4 кг. Определить суммарный расход сырья и его изменение при изменениях выпуска продукции Р₁, Р₂, Р₃, Р₄ соответственно на +5, -4, -2, +10 единиц.

Решение. Введем следующие векторы: вектор выпуска продукции х=(50,80,20,120) и вектор расхода сырья у=(7,3.5,10,4). Тогда суммарный расход сырья S есть скалярное произведение векторов х и у, вычисляемое по формуле (1), то есть S=(x,y)=50∙7+80∙3.5+20∙10+120∙4=1310 (кг).

Пусть х=(5,-4,-2,10) – вектор изменения выпуска продукции. Найдем изменение суммарного расхода сырья S, используя свойство 2) скалярного произведения векторов:

S=(x+ x,y)–(x,y)=(x,y)+( x,y)–(x,y)=( x,y)=5∙7-4∙3.5–2∙10+10∙4=41(кг).

Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора:

.

В частности, в пространстве длина вектора определяется по формуле

. (2)

Свойства длины вектора

1. Для любого , причем тогда и только тогда, когда .

2. Для любых и : .

3. Для любых : (неравенство треугольника).

Вектор, длина которого равна единице, называется нормированным.

Если – ненулевой вектор, то вектор является нормированным.

Пример 2. Нормировать вектор х=(3,2,1,1) пространства Е⁴.

Решение. Найдем длину вектора х по формуле 2:

= = .

Найдем вектор

(3,2,1,1)=

Вектор х является нормированным, так как =1.

Теорема 1. Для любых двух векторов справедливо неравенство Коши-Буняковского

или (3)

При этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.

Из равенства Коши-Буняковского (3) следует, что

. (4)

Углом между ненулевыми векторами и евклидова пространства называется угол , удовлетворяющий условиям:

и . (5)

В частности, в пространстве угол между векторами и может быть найден по формуле:

.

Пример 3. Даны векторы е₁, е₂, е₃, образующие ортонормированный базис. Найти угол между векторами х=5е₁+е₃, у=е₁+е₂+е₃.

Решение. Пусть В={e₁,e₂,e₃}. Тогда х=(5,0,1)_В, у=(1,1,1)_В. Учитывая, что базис В ортонормированный, найдем скалярное произведение векторов х, у и их длины по формулам (6) (теорема 5):

(х,у)=5∙1+0∙1+1∙1=6; ; .

Найдем угол  между векторами х и у по формуле (5):

сos= = ; =arccos 47 .

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, то есть . Обозначение: .