3.3. Базис и размерность. Координаты вектора
Базисом системы векторов (1) называется любая ее подсистема, удовлетворяющая следующим условиям:
1)векторы этой подсистемы линейно независимы;
2)каждый вектор системы (1) линейно выражается через векторы данной подсистемы.
Рангом системы векторов (1) называется число векторов ее базиса.
3амечание1.
1.Базис системы векторов определяется неоднозначно, а число векторов в базисе, т.е. ранг, всегда определяется однозначно.
2.Вычисление ранга системы векторов арифметического пространства сводится к вычислению ранга матрицы составленной из компонент векторов данной системы.
Базисом линейного пространства L называется любая система векторов данного пространства, удовлетворяющая следующим условиям:
1)векторы этой системы линейно независимы;
2)каждый вектор пространства L линейно выражается через векторы данной системы.
Размерностью линейного пространства L называется число векторов его базиса. Обозначение: dim L=n или Ln.
3амечание2. Базис линейного пространства определяется неоднозначно, а число векторов в базисе, т.е. размерность, всегда определяется однозначно.
Пусть В={e1,e2,…,en} – базис пространства L (dim L =n). Тогда по определению 14 любой вектор а L может быть записан в виде
а=α1e1+α2e2+…+αnen (4)
Выражение (4) называется разложением вектора а по базису В. Коэффициенты разложения вектора а по базису В, т.е. числа α1,α2,…,αn называются координатами вектора а в базисе В. Обозначение: а=(α1,α2,…,αn)B.
Теорема1 (о единственности разложения).
В линейном пространстве разложение любого вектора по данному базису единственно.
Преобразование координат вектора при переходе от базиса к базисую
Пусть в n-мерном пространстве L заданы два базиса:
и
.
Разложим векторы базиса В/ по базису В:
Матрицей
перехода
от базиса В к базису В/
называется
квадратная матрица T=(tij)n,n,
i-тый
столбец которой состоит из координат
вектора
в
базисе В, т.е.
.
Пусть
вектор x
имеет
в базисе В координаты
,
а
в базисе В/-
координаты
.
Связь
между старыми координатами вектора x
в базисе В и новым его координатами в
базисе В/
выражается следующими формулами:
или
.
(5)
где T-это матрица перехода от базиса В к базису В/.
Пример 5. В некотором базисе В={e1,e2,e3} даны векторы а1=(1,1,1), а2=(1,1,2), а3=(1,2,3). Требуется:
а) доказать, что векторы а1, а2, а3 образуют базис;
б) найти координаты вектора х=6e1+9e2+14e3 в базисе B/={а1, а2, а3}.
Решение: а) Три вектора а1, а2, а3 образуют базис трехмерного пространства, если они линейно независимы. Составим соответствующее векторное равенство
α1а1+α2а2+α3а3=0
или
α1
+α2
+α3
=
,
откуда
получим систему
.
Решая эту систему методом Гаусса, получим единственное решение α1=α2=α3=0. Следовательно, векторы а1,а2,а3 – линейно независимы и образуют базис пространства R3.
б) Найдем координаты вектора х=6e1+9e2+14e3 (т.е. х=(6,9,14)в) в новом базисе В={а1,а2,а3}, где а1=(1,1,1)в, а2=(1,1,2)в, а3=(1,2,3)в.
Пусть
х=(
)B’.
Тогда связь между координатами вектора
х
в
базисах В и В' выражается формулами (5):
или
,
где х=( х1, х2, х3)В, T – матрица перехода от базиса В к базису В'. Так как известны координаты новых базисных векторов а1, а2, а3 в старом базисе В, то составим из них матрицу перехода T:
.
Находим
обратную матрицу T-1:
T-1=
.
Так как х=(6,9,14)В, то получим
=
=
.
Таким образом, х=(1,2,3)В' или х=а1+2а2+3а3, где В'={a1,a2,a3}.
Пример
6. Дана
матрица
перехода
от базиса В={e1,e2,e3}
к
базису
.
Найти координаты вектора
в
базисе В.
Решение.
Пусть
=(
х1,
x2,
x3)В
и
=(
)В'.
Так как вектор
входит
в базис В,
то его разложение в данном базисе имеет
вид:
=0
+0
+1
,
т.е. =(0,0,1)В'.
Следовательно, по формуле (5) получим
=T
=
=
,
т.е. в базисе В={e1,e2,e3} вектор имеет координаты (3,4,-5)В' .
Пример 7. Найти матрицу перехода от базиса В={e1,e2,e3} к базису В’={e2,e3,e1}.
Решение. Пусть В'={ , , }, где = e2, = e3, =e1.
Найдем координаты новых базисных векторов в старом базисе:
=
e2=0e1+1e2+0e3
=(0,1,0)В,
=e3=0e1+0e2+1e3 =(0,0,1)В,
=e1=1e1+0e2+0e3 =(1,0,0)В.
Следовательно, матрица перехода T от базиса В к базису В' имеет вид:
.