Тема 6. Производная.

Определение производной функции. Примеры вычисления производных по определению. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Классификация положений касательных. Механический смысл производной. Связь между существованием конечной производной и непрерывностью функции. Односторонние производные. Бесконечные производные и их геометрический смысл. Правила дифференцирования. Производная от обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной функции. Логарифмическое дифференцирование. Производная функции, заданной неявно. Производная функции, заданной параметрически. Производные высших порядков.

Тема 7. Дифференциал.

Понятие дифференциала функции. Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием конечной производной в ней. Геометрический и механический смысл дифференциала. Дифференциал как главная часть бесконечно малого приращения функции. Использование дифференциала в приближенных вычислениях. Асимптотическое представление дифференцируемой функции. Геометрическое истолкование. Механическое истолкование дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Основные формулы и правила вычисления дифференциалов. Понятие о дифференциале n-го порядка.

Тема 8. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема и формула Лагранжа. Признаки постоянства, возрастания и убывания дифференцируемых функций. Теорема Коши. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Формула Тейлора. Экстремум функции. Направление выпуклости. Точка перегиба. Схема исследования функции и построения ее графика.

Модуль V. Интегральное исчисление функции одной переменной

Тема 9. Неопределенный интеграл

Первообразная и ее свойства. Определение неопределенного интеграла. Арифметические свойства неопределенного интеграла. Методы интегрирования: табличное интегрирование, метод замены переменной, интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональностей. Интегрирование тригонометрических выражений, универсальная подстановка.

Тема 10. Определенный интеграл.

Определение определенного интеграла. Свойства определенных интегралов, выражаемые равенствами и неравенствами. Теоремы о среднем для определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной интегрирования и интегрирование по частям в определенном интеграле. Понятие квадрируемой фигуры, кубируемого тела, спрямляемой кривой. Приложения определенного интеграла: длина дуги, площадь плоской фигуры, объем тела.

Тема 11. Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода). Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода).

Модуль VI. Теория рядов.

Тема 12. Числовые ряды.

Числовой ряд и его сходимость. Необходимое условие сходимости ряда. Геометрический ряд. Гармонический ряд. Арифметические действия над сходящимися рядами. Основная теорема теории положительных рядов (критерий сходимости положительного ряда). Признаки сходимости. Первый признак сравнения. Второй признак сравнения (предельный признак сравнения). Признак Даламбера. Интегральный признак сходимости Коши. Обобщенный гармонический ряд. Абсолютная сходимость. Признак Лейбница. Условная сходимость. Перестановка членов абсолютного сходящегося ряда.