Программа курса

Модуль I. Введение в математический анализ.

Тема 1. Множества и функции.

Понятие множества. Способы задания множеств. Подмножества. Стандартные обозначения числовых множеств. Действительные числа и их свойства. Расширенное множество действительных чисел. Числовая прямая. Абсолютная величина действительного числа. Функции и их свойства. Операции над функциями. График функции. Основные элементарные функции. Сужение функции. Обратное отображение (обратная функция). Обратные тригонометрические функции. Суперпозиция функций (сложная функция). Параметрическое задание функции.

Тема 2.Понятие предела.

Определение предела функции по Коши. Бесконечно малые функции. Асимптотическое представление функции, имеющей конечный предел. Бесконечные пределы функции. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями. Односторонние пределы функции. Асимптоты графика функции. Горизонтальная, вертикальная и наклонная асимптоты. Предел последовательности. Бесконечно малые последовательности. Асимптотическое представление сходящейся последовательности. Бесконечные пределы последовательностей. Бесконечно большие последовательности. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Модуль II. Теория пределов.

Тема 3.Теория пределов для последовательностей.

Теорема о единственности предела последовательности. Действия над бесконечно малыми последовательностями (б.м.п.). Сумма и произведение б.м.п. Произведение б.м.п. на ограниченную последовательность. Предел корня из б.м.п. Действия над сходящимися последовательностями. Теоремы о пределе суммы, произведения, частного и корня. Стабилизация значения и знака сходящейся последовательности. Предельный переход в равенстве и неравенстве. Теорема о пределе сжатой последовательности. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Понятие о числе е Неопределенности. Классификация бесконечно малых последовательностей. Критерий эквивалентности двух бесконечно малых последовательностей. Классификация бесконечно больших последовательностей. Использование эквивалентности последовательностей при нахождении предела частного.

Тема 4. Теория пределов для произвольных функций.

Теорема о единственности предела функции. Действия над бесконечно малыми функциями. Действия над функциями, имеющими конечные пределы. Теоремы о пределе суммы, произведения, частного и корня. Предельный переход в равенстве и неравенстве. Теорема о пределе сжатой функции. Неопределенности. Классификация бесконечно малых функций. Критерий эквивалентности двух бесконечно малых функций. Классификация бесконечно больших функций. Использование эквивалентности функций при нахождении предела частного.

Модуль III. Непрерывные функции.

Тема 5. Непрерывные функции.

Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на множестве.. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций. Непрерывность сложной функции. Замечательные пределы. Неопределенности, связанные со степенно-показательными выражениями. Точки разрыва и их классификация. Свойства непрерывных функций. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Первая теорема Больцано - Коши. Вторая теорема Больцано – Коши. Теорема Вейерштрасса.

Модуль IV. Производная и дифференциал.