Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Московский авиационный институт
(национальный исследовательский университет)
РАДИОВТУЗ МАИ
О.М. Данченко
ПОСОБИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ
ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
(ЧАСТЬ 2-Я)
МОСКВА
2012
Содержание
Введение…………………………………………………………………
Несобственные интегралы………………………………………….
1.1. Несобственные интегралы 1-ого рода…………………………
1.2. Признак сходимости для несобственных интегралов 1-ого рода………………………………………………………..
1.3. Несобственные интегралы от неограниченных на отрезке
[a,b] функций…………………………………………………….
1.4. Признак сходимости для несобственных интегралов
2-ого рода…………………………………………………………
Дифференциальное исчисление функций многих переменных….
Дифференцирование сложных функций………………………
Дифференцирование функций, заданных неявно…………….
Производная по направлению………………………………….
Уравнения касательных плоскостей и нормалей………….......
Экстремум функций нескольких переменных…………………
Двойные интегралы ………………………………………………..
3.1.Свойства двойных интегралов………………………………….
3.2.Вычисления двойных интегралов в декартовой системе
координат…………………………………………………………
3.3.Замена переменной в двойном интеграле. Полярная
система координат……………………………………………….
3.4.Геометрические и физические приложения двойного
интеграла………………………………………………………….
Тройные интегралы …………………………………………………
4.1.Цилиндрическая и сферическая системы координат………….
4.2.Геометрические и физические приложения тройных
интегралов………………………………………………………..
Криволинейные интегралы 1-ого рода…………………………….
5.1.Задачи на механические приложения криволинейных
интегралов……………………………………………………….
Поверхностные интегралы 1-ого рода…………………………….
6.1.Задачи на механические приложения поверхностных
интегралов………………………………………………………..
Приложения……………………………………………………………..
Введение.
Данное пособие содержит разбор и подробное решение типовых задач индивидуальных домашних заданий по математическому анализу, предлагаемых студентам для самостоятельного решения во втором семестре. В данном пособии к каждому из заданий приводятся конспективно изложенные основные сведения из теории, справочные данные, сведения о системах координат на плоскости и в пространстве, а также необходимые формулы, относящиеся к соответствующему разделу. Приведен подробный разбор типовых задач. Представленное пособие позволит студентам экономить время на решение индивидуальных заданий, а также предоставляет широкие возможности для активного самостоятельного изучения практической части курса математического анализа.
В данном пособие подробно рассматриваются типовые задачи индивидуальных домашних заданий по следующим разделам курса «Математического анализа».
1. Несобственные интегралы (вычисление или установление расходимости несобственного интеграла).
2. Дифференцирование функций многих переменных.
3. Двойной интеграл и его приложения.
4. Тройные интегралы и приложения тройных интегралов.
5. Криволинейные интегралы 1-ого рода.
6. Поверхностные интегралы 1-ого рода.
В приложении к данному пособию приведены: таблица основных производных и таблица основных методов интегрирования. В пособии приведены варианты индивидуальных домашних заданий и вопросы к экзамену по вышеуказанным разделам курса «Математический анализ».
1. Несобственные интегралы.
Из определения необходимых и достаточных условий существования определенного интеграла следует, что интервал интегрирования [a ; b] должен быть конечным, а интегрируемая функция f (x) – непрерывна и ограничена на этом интервале.
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то говорят о возможных обобщениях понятия определенный интеграл. Вводится понятие несобственный интеграл.
Несобственные интегралы делятся на несобственные интегралы 1-ого рода и несобственные интегралы 2-ого рода.
Несобственные интегралы 1-ого рода.
Несобственными интегралами 1-ого рода называются интегралы с бесконечными пределами интегрирования. По определению
если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично определяются интегралы:
Если хотя бы один из интегралов расходится, то несобственный
При этом интегрируемая функция f(x) на указанных промежутках должна быть непрерывна.
Пример: вычислить несобственный интеграл 1-ого рода или установить его расходимость.
Этот предел не существует, следовательно, интеграл расходится.
Пример: вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Пример: вычислить несобственный интеграл.
Пример: вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
При интегрировании воспользовались формулой интегрирования
“по
частям “ : 
,
приняв u
= x
, dv
= e
-x
dx
.
При подстановке пределов интегрирования:
,
предел
нашли
по правилу Лопиталя.
Признак сходимости для несобственных интегралов 1-ого рода.
Пусть
функции f
(x)
и g
(x)
интегрируемые по любому отрезку [ a
; b
] и при x
≥ a
удовлетворяют неравенствам 
.
Тогда:
( эти утверждения имеют простой смысл: если сходится интеграл от большей функции, то сходится интеграл и от меньшей функции; если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится интеграл и от большей функции; в случаях, когда сходится интеграл от меньшей функции или расходится интеграл от большей функции, никаких выводов о сходимости второго интеграла сделать нельзя).
В качестве “стандартного” интеграла, с которым сравнивается данный,
Дирихле. Этот интеграл сходится, если p > 1 , и расходится, если p ≤ 1:
Следствие из признака сходимости:
В
качестве функции 
берётся подынтегральная функция, так
называемого “ стандартного ” интеграла,
т. е.
Если задание формулируется таким образом: “ исследовать несобственный интеграл на сходимость ”, то при решении задачи следует воспользоваться следствием из признака сходимости.
Пример: исследовать интеграл на сходимость.
В
качестве “стандартной” рассмотрим
функцию 
,
тогда
расходится,
как и интеграл от “стандартной” функции
при степени 
Пример: исследовать интеграл на сходимость.
В
качестве “стандартной” рассмотрим
функцию 
(соответствующую старшей степени слагаемого в знаменателе)
по третьему замечательному пределу. Следовательно, исследуемый интеграл сходится, степень p = 2 > 1 .
Пример: исследовать интеграл на сходимость.
В
качестве “стандартной” рассмотрим
функцию 
,
тогда
исследуемый интеграл при x→+∞ ведет себя так же, как и стандартный, т. е. сходится.