1) Полиномы Pr(X) должны быть неприводимыми, т. Е. Не делиться ни на какой другой полином;

2) двучлен вида xⁿ+1 должен делиться на P_r(x) без остатка (имеется в виду обычная операция деления).

Такие полиномы в циклических кодах играют роль порождающих (производящих, образующих) полиномов; с их помощью строится заданный циклический код.

Поскольку неприводимый многочлен не может быть представлен в виде произведения многочленов более низших степеней, то проверить это можно простой подстановкой в него корней x=1, x=0. Например, имеем P₃(x)=x³+х+1. Если P₃(x) можно разложить па множители, то это означает, что уравнение x³+x+1=0 имеет корни x_i=0; 1. Прямой подстановкой этих корней можно убедиться, что в обоих случаях P₃(x)=l, т. е. этот полипом неприводим. Существенно, что степень образующего многочлена P_r(x) r совпадает с числом проверочных разрядов (n, k) циклического кода.

В циклических кодах разрешенными кодовыми комбинациями являются те, которые имеют нулевой вычет по модулю P_r(x), т. е. делятся на образующий полином без остатка. Из всех возможных полиномов степени n (2ⁿ) только 2^k полиномов (k=n-г) имеют нулевой вычет по модулю P_r(x). Они и образуют множество разрешенных кодовых комбинаций циклического кода.

Циклические коды являются блочными, равномерными и линейными. Линейность кодов вытекает из того, что если кодовые слова принадлежат циклическому коду, то их линейная комбинация будет также принадлежать циклическому коду, т. е. обязательно делиться без остатка на образующий полином.

По сравнению с обычными линейными кодами (см. разд. 3.2) на разрешенные кодовые комбинации циклического кода накладывается дополнительное ограничение: делимость без остатка на порождающий полином. Это свойство существенно упрощает аппаратурную и программную реализации кода.

Обнаружение ошибок в циклическом коде производится делением принятой кодовой комбинации на кодовую комбинацию образующего полинома (вид его должен быть известен на приеме). Остаток от деления R(x) играет роль синдрома. Если R(x)0, то считается, что произошли ошибки. Если R(x)=0, то комбинация принята правильно.

Возможность исправления одиночной ошибки связана с выбором образующего полинома P_r(x). Точно так же, как и в обычных линейных кодах, вид синдрома в циклических кодах зависит от места, где произошла ошибка. В данном случае в качестве синдромов рассматриваются различные остатки R(x) от деления полинома ошибки на образующий полипом P_r(x). Среди множества полиномов P_r(x) существуют так называемые примитивные полиномы, для которых существует зависимость n=2r-1. Это означает, что при возникновении ошибки в одном из n разрядов кодовой комбинации число различных остатков также будет равно n. Например, образующий полином P₄⁽¹⁾(x)=x⁴+x+l дает n=15 различных остатков, а образующий полином P₄⁽²⁾(x)=x⁴+x³+x²+x+1 только пять различных остатков. Поэтому полином P₄⁽¹⁾(x) может использоваться для построения циклического кода (15,11) с исправлением одной ошибки (при n=2ⁿ-1; 15=2⁴-1), а полином P₄⁽²⁾(x) при n=15 только для обнаружения ошибок. (Предлагается самостоятельно проверить свойства указанных полиномов путем деления многочленов ошибки Е(x)=х¹⁵, x¹⁴, ... на P₄⁽¹⁾(x) и P₄⁽²⁾(x), подсчитывая число различных остатков.)

Признаком примитивных полиномов является наличие остатка, равного единице, только для полиномов x⁰=1 и xⁿ, т. е. число различных остатков равно n-1.