1.3 Коды боуза - чоудхури - хоквингема

Методика построения циклических кодов с d₀=5 была разработана Боузом, Чоудхури и Хоквингемом. В литературе эти коды известны как коды БЧХ. Данная методика отличается от методики построения кодов с d₀<5 способом выбора образующего многочлена. Построение образующего полинома зависит от двух основных параметров: длины кодовой комбинации n и числа исправляемых ошибок t_и.ош. Остальные параметры, использующиеся для построения образующего полинома, определяются из специальных таблиц и соотношений.

Для исправления t_и.ош2 необходимо иметь d₀2t_и.ош+1; длина кодовой комбинации должна удовлетворять условию:

n=2^m=1, (7.13)

где n — всегда нечетное число.

Величина m определяет выбор числа проверочных символов r и связана с r и t_и.ош соотношением

rmt_и.ош(d₀-1) /2. (3.15)

В то же время число r определяется степенью образующего полинома. При больших значениях m длина кода n становится большой, что снижает эффективность кода из-за того, что часть информационных разрядов не используется и возникают трудности технической реализации кодека. В этом случае для определения m удобно

Таблица 3.5  Соотношения для n, C, m

№ п/п	m	n=2m-1	С	№ п/п	m	n=2m-l	С
1	3	7	1	6	8	255	17; 5; 3
9	4	15	5; 3	7	9	511	7; 3; 7
3	5	31	1	8	10	1023	31; 11; 3
4	6	63	7; 3; 3	9	11	2047	89; 23
5	7	127	1	10	12	1095	3; 3; 5; 7; 13

пользоваться выражением

2^m-1=nC, (3.16)

где C — один из сомножителей, на которые разлагается число n. Соотношения для n, C, m можно свести в табл. 3.5. Из таблицы следует, например, что при m=10 длина кодовой комбинации n может равняться и 1023 (С=1), и 341 (С=3), и 33 (С=31) и 31 (C=33), однако ясно, что n не может быть меньше n t_и.ош.

Величина C влияет на выбор порядковых номеров специальных неприводимых многочленов (табл. 3.6), с помощью которых образующий полином кода БЧХ находится как их наименьшее общее кратное (НОК). Эти многочлены называются минимальными. Максимальный порядок  определяет номер последнего из выбираемых табличных минимальных многочленов:

=2t_и.ош-1. (3.17)

Порядок  может быть только нечетным. Значения  меняются от 1 до d₀-2 (d₀ — нечетно). Так как образующий полином P_r(x) является произведением указанных нечетных минимальных многочленов, то  используется для определения числа сомножителей P_r(x). Например, если t_и.ош=6, то =2t_и.ош-1=1 и нечетными минимальными многочленами будут М₁(х), M₃(x), М₅(х), М₇(х), М₉(х), М₁₁(х). Старший из них имеет порядок =11. Число сомножителей Р_r(х) равно 6, т. е. числу исправляемых ошибок. Поэтому число минимальных многочленов, образующих P_r(x), равно t_и.ош, а старшая степень многочлена l=m. Число l указывает колонку в таблице минимальных многочленов, из которых выбирается многочлен для построения образующего полинома.

Таблица 3.6  Специальные неприводимые многочлены

Порядок	Степень l
	1	2	3	4 5		6	7	8
1		111	1011	10011	100101	1000011	10001001	100011101
3			1101	11111	111101	1010111	10001111	101110111
5			111	110111	1100111	10011101	111110011	1100110001
7				11001	101111	1001001	11110111	101101001
9					110111	1101	10111111	110111101
11					111011	1101101	11010101	111100111
13							10000011	100101011
15								111010111
17								010011
19							11001011	101100101
21							11100101	110001011

Степень образующего многочлена P_r(x), полученного в результате перемножения выбранных минимальных многочленов, равна

rlt_и.ош=m t_и.ош. (3.18)

Таким образом, P_r(x)=HOK [M₁(x)M₃(x)...М_(х)].

Для конкретизации приведенной методики рассмотрим примеры.

Пример 3.14. Построить код БЧХ, исправляющий две ошибки. Длина кодовой комбинации n=15.

Согласно условию m=log₂(n+1)=log₂16=4. Число проверочных разрядов rmt_и.ош42=8. Порядок старшего из минимальных многочленов =2t_и.ош-1=221=3. Число минимальных многочленов, участвующих в построении образующего полинома, L=t_и.ош=2, а старшая степень l=m=4. Степень образующего многочлена: r8.

Из колонки 4 табл. 3.6, где расположены минимальные многочлены l=4, выбираем два (L=2) минимальных многочлена, порядок старшего из которых равен 3 (=3), т. е. выбираем минимальные многочлены 1 и 3:

M₁(0,1)=10011; М₃(0,1)=11111.

Тогда P_r(0,l)=M₁(0,l)M₃(0,l)=111010001, что соответствует образующему полиному P₈(x)=x⁸+x⁷+x⁶+x⁴+l. Тогда параметры кода r=8, k=n-г=15-8=7. Имеем код (15,7). Производящую матрицу этого кода G₁₆,₇ можно получить шестью циклическими сдвигами исходной комбинации, соответствующей образующему полиному P₈(0,1)=000000 111010001 (см. пример 3.10).

Пример 3.15. Построить код БЧХ, исправляющий двойную ошибку, если требуемая длина кода n=21.

1. Определяем значение m по формуле m=log₂(n+1) или согласно (3.16) для больших значений n m=log₂(nC+1). Так как m всегда целое число, то m=[log₂(21C+1)], где — меньшая целая часть. Отсюда C=3, так как ближайшее число, которое в сумме с 1 дает целую степень двух, есть 63. Тогда имеем m=log₂(213+1)=6.

2. Находим: rt_и.ошm62=12; =2t_и.ош-1=4-1=3; L=t_и.ош=2; =r12; l=m=6.

3. Из колонки 6 (l=6) табл. 3.6 выписываем два (L=2) минимальных нечетных многочлена, порядок старшего из которых равен 3 (=3). Таким образом, выбираем многочлены М₁(х) и М₃(х) (М₁(0,1)=1000011, M₃(0,1)=1010111).

4. Умножаем индексы (порядки) выбранных многочленов на C и окончательно получаем порядковые номера минимальных многочленов, из которых строим образующий полином циклического кода:

M₁(0,1) имеет порядок 1 (3)M₃(0,1);

M₃(0,l) имеет порядок 3 (3)M₉(0,1).

Из колонки 6 (l=6) табл. 3.6 имеем

M₃(0,1)=1010111; M₉(0,1)=1101; P₉(0,1)=10101111101=1110110011x⁹+x⁸+x⁷+x⁵+x⁴+x+1.

5. Так как степень образующего многочлена r=9, то уточненное число проверочных разрядов r=9 (а не 12, как в расчете на втором шаге).

Итак, n=21, r=9, k=12. Имеем код БЧХ (21,12). Первая строка образующей матрицы G_21,12 этого кода имеет вид 000000000001110110011. Остальные строки находятся соответствующими циклическими сдвигами.