II признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Если сторона и два прилежащие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС, ΔА₁В₁С₁

АВ=А₁В₁, ,

Доказать: ΔАВС=ΔА₁В₁С₁

Доказательство:

Используем способ наложения.

Так как стороны АВ и А₁В₁ равны, то совпадут точки А и А₁; В и В₁.

Так как равны углы А и А₁, то совпадут лучи АС и А₁С₁.

Так как равны углы В и В₁, то совпадут лучи ВС и В₁С₁.

Треугольники АВС и А₁В₁С₁ совместятся, значит, они равны.

III признак равенства треугольников (по трем сторонам).

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС, ΔА₁В₁С₁

АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁, СВ=С₁В₁

Доказать: ΔАВС=ΔА₁В₁С₁

Доказательство:

Приложим треугольник А₁В₁С₁ к АВС.

1 Случай:

луч СС₁ проходит внутри угла А₁С₁В₁.

А₁С₁С – р/б, т.к. АС=А₁С₁. Значит, равны углы 1 и 2.

В₁С₁С – р/б, т.к. СВ=С₁В₁. Значит, равны углы 3 и 4.

Поэтому равны углы А₁СВ₁ и А₁С₁В₁

Треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

2 Случай

луч СС₁ совпадает с одной из сторон треугольника.

Р -м ΔСАС₁ – р/б, т.к. АС=АС₁ АСС₁ = АС₁С.

Р-м ΔАВС и ΔА₁В₁С₁

АС=А₁С₁ (по условию) | ΔАВС = ΔА₁В₁С₁

ВС=В₁С₁ (по условию) | ( по двум сторонам и

АСС₁ = АС₁С | углу между ними)

3 Случай

В С₁С – р/б, т.к. СВ=С₁В₁. ВСС₁ = ВС₁С.

АС₁С – р/б, т.к. АС=А₁С₁. АСС₁ = АС₁С.

Поэтому равны АСВ = АС₁В.

АС=А₁С₁ (по условию) | ΔАВС = ΔА₁В₁С₁

ВС=В₁С₁ (по условию) | ( по двум сторонам и

АСВ = АС₁В | углу между ними)

Теорема доказана.

Окружность

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Инструмент для построения окружности - циркуль

Отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой на окружности – радиус.

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой.

Отрезок, соединяющий две точки окружности – хорда.

Хорда, проходящая через центр окружности – диаметр.

Окружность

1. Построение отрезка равного данному

Изобразим фигуры, данные в условии: луч ОС и отрезок АВ.

Построение:

Построим окружность радиуса АВ с центром в точке О.

Окружность пересечет луч ОС в некоторой точке D.

Отрезок ОD – искомый.

2. Построение угла равного данному

Д ано:

А

Построить:

А = О

Доказательство:

рассмотрим ΔАВС и ΔОDE.

1. АС=ОЕ, как радиусы одной окружности.

2. АВ=ОD, как радиусы одной окружности.

3. ВС=DE, как радиусы одной окружности.

ΔАВС = ΔОDЕ (по трем сторонам) А = О

Построение:

1. Построить произвольный луч.

2. Построить две равные окружности произвольного радиуса и окружность с центрами в начале луча и в вершине данного угла.

3. Найти и обозначить точки пересечения окружностей с лучом и со сторонами угла.

4. Построить окружность с центром в точке пересечения луча и окружности и радиусом, равным расстоянию между точками, построенными на сторонах угла.

5. Найти и обозначить точку пересечения окружностей.

6. Провести новый луч из начала луча через построенную точку пересечения окружностей.

7. Угол, образованный двумя построенными лучами, - искомый.

3. Построение биссектрисы угла

Д ано:

А

Построить:

АВ - биссектриса

Доказательство:

Рассмотрим ∆АСВ и ∆ АDВ

1. АС=АD, как радиусы одной окружности.

2. СВ=DB, как радиусы одной окружности.

3. АВ – общая сторона.

∆ АСВ = ∆ АDВ (по трем сторонам) луч АВ – биссектриса.

Построение:

1. Построить окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла.

2. Найти и обозначить точки пересечения окружности со сторонами угла.

3. Построить окружности с центрами в построенных точках и тем же радиусом.

4. Найти и обозначить точку пересечения окружностей.

5. Провести луч с началом в вершине угла через точку пересечения окружностей, - искомая биссектриса угла.

4. Построение перпендикулярных прямых