Практичне заняття №2 Тема: Складні події

4. Додавання несумісних та множення незалежних подій. Література: [15], розд. ІІІ, §3-4, с. 34-37.

Ймовірність суми скінченого числа несумісних подій (А₁, А₂, …, А_n) дорівнює сумі їхніх ймовірностей.

P(А₁ + А₂ + … + А_n) = P(А₁) + P(А₂) + … + P(А_n).. (2.1)

Сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці.

P(A + B + C + … + M) = 1. (2.2)

Зауваження. Ймовірність події, що протилежна події А, дорівнює різниці між одиницею та ймовірністю події А.

P(A + ) = 1  P(A) + P( ) = 1  P( ) = 1 – P(A). (2.3)

Події А та В називаються незалежними, якщо ймовірність однієї з них не змінюється при появі іншої події. У протилежному випадку події називаються залежними.

Теорема. Ймовірність добутку двох і більше незалежних подій дорівнює добутку їхніх ймовірностей.

P(А₁ × А₂ × … × А_n) = P(А₁) × P(А₂) × … × P(А_n). (2.4)

Приклад 2.1 Знайти ймовірність безвідмовної роботи двох верстатів, якщо ймовірність безвідмовної роботи кожного з них дорівнює 0,9.

Розв’язання. Нехай події: А – працює перший верстат; В – працює другий верстат, тоді P(AB) = P(A)P(B) = 0,81.

Приклад 2.2 На шести секторах кожного з чотирьох дисків замка автоматичної камери зберігання нанесені різні цифри. Замок відмикається при фіксуванні на кожному диску у відповідних секторах (на зовнішній стороні замка) тих цифр, які зафіксовані на внутрішній стороні замка при замиканні його. Яка ймовірність того, що при разовому встановленні навмання цифр на дисках такого замка він відімкнеться?

Розв’язання. Позначимо подія А – замок відімкнувся, а подія B_i ( ) – на і-му диску встановлена потрібна цифра. Тоді A = B₁  B₂  B₃  B₄ і події B_i незалежні. Тому за формулою (2.4):

P(A) = P(B₁)  P(B₂)  P(B₃)  P(B₄) .

Приклад 2.3 Радист тричі викликає кореспондента. Ймовірність того, що перший виклик буде прийнятий – 0,2; ймовірність прийняття другого виклику –0,3; третього – 0,4. Події, які полягають у тому, що цей виклик буде прийнятий, незалежні. Знайти ймовірність того, що кореспондента буде почуто.

Розв’язання. Позначимо А – радиста почують у перший раз; В – радиста почують у другий раз; С – радиста почують утретє. Ці події сумісні, тому складемо суму несумісних подій і тоді з (2.1) ймовірність дорівнює:

=0,2 + 0,8 × 0,3 + 0,8 × 0,7 × 0,4 = 0,664.

5. Ймовірності додавання сумісних та множення залежних подій. Ймовірність появи хоча б однієї події. Література: [15], розд. ІІІ, §5-7, с. 37-41.

Ймовірність події А знайдена в припущенні, що подія В наступила, називається умовною ймовірністю події А щодо події В і позначається Р_В(А).

Приклад 2.4 З першого верстату надійшло на склад 200 деталей, з яких 180 придатних. З другого верстата – 300, з них – 260 придатних. Знайти ймовірність події С, яка полягає в тому, що взята навмання деталь буде придатною. Знайти умовні ймовірності того, що взята деталь придатна, якщо відомо, що вона виготовлена на першому верстаті; на другому.

Розв’язання. Загальна кількість деталей n = 200 + 300 = 500, з них придатних m = 180 + 260 = 440. Отже, ймовірність того, що деталь буде придатна P(A) = 440/500 = 0,88, якщо A – придатна деталь і B – придатна деталь першого верстата. Тоді ймовірність того, що придатна деталь виготовлена на першому верстаті Р_В(А) = 180/200, а ймовірність того, що деталь придатна при умові, що вона виготовлена на другому верстаті: .

Ймовірність добутку двох залежних подій A та B дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої. Або ймовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої. Отже,

Р(А × В) = Р(А) × Р_А(В), (2.5)

або

Р(А × В) = Р(В) × Р_В(А).

Приклад 2.5 Рада директорів складається з трьох бухгалтерів, трьох менеджерів та двох інженерів. Планується створити оргкомітет із трьох чоловік. Яка ймовірність того, що всі троє, які увійдуть в оргкомітет, є бухгалтери.

Розв’язання. Позначимо події

А₁ – перший бухгалтер, який увійде в оргкомітет,

А₂ – другий бухгалтер, який увійде в оргкомітет,

А₃ – третій бухгалтер, який увійде в оргкомітет,

В – три бухгалтери, які увійдуть в оргкомітет, тоді В = А₁ × А₂ × А₃;

,

або .

Теорема. Ймовірність суми двох сумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей без ймовірності від їх добутку, тобто

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А × В). (2.6)

Аналогічно, ймовірність суми трьох сумісних подій:

Р(А + В + C) = Р(А) + Р(В) + P(C)– Р(А × В) –

– Р(B × C) – Р(А × C) + P(А × В × C). (2.7)

Зауваження. На практиці рекомендується найчастіше застосовувати принцип протилежних подій у теорії ймовірностей, тобто якщо протилежна подія розпадається на меншу кількість варіантів, ніж пряма подія, то є сенс при обчисленні ймовірностей переходити до протилежної події. Знаючи ймовірність протилежної події , можна знайти ймовірність потрібної події A, тобто

P(A) = 1 – P( ). (2.8)

Приклад 2.6 У шухляді 12 деталей, з яких п’ять пофарбовані. Збирач випадково взяв три деталі. Знайти імовірність того, що хоча б одна з деталей буде пофарбована.

Розв’язання. Позначимо подія А – хоча б одна із трьох деталей пофарбована. Тоді – жодна з трьох деталей не пофарбована. Оскільки протилежна подія складається тільки з одного варіанту, то знайдемо її ймовірність, використовуючи класичне визначення ймовірності, тобто , , де сім – число нефарбованих деталей. Звідки за формулою (1.5) одержимо: . Тепер за формулою (2.8) одержимо шукану ймовірність .

Нехай події А₁, А₂, …, А_n незалежні в сукупності, причому їх ймовірності відомі і відповідно дорівнюють P(A₁) = p₁, P(A₂) = p₂, …, P(A_n) = p_n і нехай в результаті випробування можуть наступити всі події або частина з них, або одна з них. Ймовірність настання події А, що полягає в появі хоча б однієї з подій А₁, А₂, …, А_n дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій, тобто

P(A) = 1 – q₁ × q₂ × … × q_n, (2.9)

де q₁ = 1 – p₁; q₂ = 1 – p₂; …; q_n = 1 – p_n.

Зокрема, якщо всі n подій мають однакову ймовірність, рівну р, то ймовірність появи події А хоча б один раз у n випробуваннях обчислюється за формулою:

P(A) = 1 – qⁿ, (2.10)

де q = 1 – p.