2. Элементы математической статистики

2.1. Предмет и основные понятия математической статистики

2.2. Оценивание «Хорошие» свойства оценок

2.3. Проверка гипотез и интервальное оценивание

2.1. Предмет и основные понятия математической статистики

Сопоставляя предмет теории вероятности и математической статистики, можно сказать, что теория вероятности это наука о будущем, а математическая статистика – наука о прошлом. Теория вероятности при известном распределении вероятности позволяет предсказывать вероятности получения того или иного значения случайных величин.

Математическая статистика, в свою очередь, при известных наблюдениях случайной величины позволяет определить ее вероятностные характеристики, то есть математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения вероятностей.

Энциклопедическое определение математической статистики.

Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам, систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Основные понятия математической статистики: генеральная совокупность и выборка. В математической статистике генеральная совокупность – совокупность всех мысленных (возможных) значений случайной величины при данном реальном комплексе условий, т.е. генеральная совокупность – некоторая абстракция. Любая генеральная совокупность описывается статистическими показателями (параметрами генеральной совокупности). Если из генеральной совокупности выбрать несколько элементов или провести несколько испытаний, то мы получим выборку. В выборке описываются показатели выборочной совокупности. В математической статистике и эконометрике все данные рассматриваются как выборка. В математической статистике нужно уметь связывать генеральную совокупность и выборку, особенно это важно при прогнозировании, так как оно означает распространение полученных тенденций на перспективу, то есть выводов выборки на генеральную совокупность.

2.2. Оценивание «Хорошие» свойства оценок

Статистический анализ можно разделить на два вида:

1. Описательный статистический анализ

2. Статистический анализ, имеющий целью сделать какие-либо выводы.

С татистический анализ

Описательный вид цель - выводы

Оценивание проверка гипотез

Описательная статистика рассматривается в предмете общей теории статистики. Под описательными статистическими показателями понимается группа сводных показателей, каждый из которых одним числом определяет качество совокупности данных (мода, медиана, средняя арифметическая, различные коэффициенты и отклонения).

Статистика получения выводов применяется в двух видах анализа: оценивание и проверка гипотез:

Оценивание применяется в том случае, когда заранее не знаем величину параметров генеральной совокупности, в этом случае мы задаем доверительные интервалы для оценивания действительных параметров генеральной совокупности. Если же мы располагаем знаниями относительно параметров генеральной совокупности, то эти сведения могут быть сформулированы в виде гипотезы, которая может быть проверена. Например, мы можем проверить гипотезу, что значение параметра генеральной совокупности лежит в определенном интервале. Эти два раздела: оценивание, и проверка гипотез рассмотрим более подробно.

Прежде чем сделать выборку из генеральной совокупности, нужно рассчитать характеристики всей генеральной совокупности, но, прежде чем рассчитать эти характеристики, надо построить формулу для расчета этих оценок, это и называется оцениванием. Числовые значения характеристики, полученные на основе этих формул – оценки. При этом нужно иметь в виду, что не всякие формулы, определяющие параметры и наблюдения, могут быть оценками.

Для успешного ведения статистического исследования оценки должны обладать тремя свойствами:

1^0. Оценка должна быть несмещенной, то есть математическое ожидание должно быть равно истинному значению параметров для генеральной совокупности.

Пусть z – оцениваемый параметр, а – случайная переменная, получаемая из оценочных формул. Тогда .

2⁰. Оценка должна быть эффективной – оценка должна обладать наименьшей по сравнению с другими оценками, дисперсией.

3⁰. Оценка должна быть состоятельной, то есть при бесконечном увеличении размера выборки, распределение вероятности оценки должна вырождаться в точку.

В дальнейшем, оценки, обладающие данными свойствами, будут называться «хорошими».