Задание 2 Множественная регрессия

Обобщением модели парной регрессии является модель множественной регрессии. Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

,

где – зависимая переменная (результативный признак);

– независимые переменные (факторы).

Чаще всего используются линейные уравнения множественной регрессии:

. (2.1)

Используют также и нелинейные модели множественной регрессии, например:

и др.

Построение модели связано с выбором вида уравнения и отбором факторов модели. Факторы, включаемые в модель, должны удовлетворять требованиям:

• должны быть количественно измеримы;

• не должны находиться в функциональной связи;

• между факторами не должно быть высокой корреляционной связи (не должны быть мультиколлинеарны).

Для выявления мультиколлинеарных факторов можно использовать корреляционную матрицу :

где – оценки коэффициентов парной корреляции. При этом, если факторы некоррелированы, то , если между факторами линейная связь, то и чем ближе к нулю, тем сильнее мультиколлинеарность. Один из путей устранения мультиколлинеарности – исключение из модели одного или нескольких факторов.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии используют МНК, для чего необходимо решить систему линейных уравнений

Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

,

где – стандартизованные переменные;

– стандартизированные коэффициенты регрессии.

Связь коэффициентов множественной регрессии со стандартизованными коэффициентами описывается соотношениями:

.

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле

.

Для расчета частных коэффициентов эластичности применяется формула

.

На основе уравнения (2.1) могут быть найдены частные уравнения регрессии:

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

.

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:

.

Индекс множественной корреляции для уравнения в стандартизованном масштабе можно записать в виде:

.

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на фактора при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле

.

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до 1.

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции: .

Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле

,

где – число наблюдений, – число факторов.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

.

Частный -критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении. В общем виде для фактора частный -критерий определится как

.

Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента сводится к вычислению значения

,

где – средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии и определяется по формуле

.

Возможны случаи, когда в модель регрессии необходимо включить факторы, имеющие атрибутивные признаки, например, образование, тип изделия, профессия и т.д.

Чтобы использовать эти переменные им придают численные значения. Такие искусственно сконструированные переменные в эконометрике называются фиктивными или структурными переменными.

Фиктивные переменные могут вводиться как в линейные, так и в нелинейные модели.

Пример 2. Изучается влияние стоимости основных оборотных средств на величину валового дохода торговых предприятий.

Для этого по двенадцати торговым предприятиям получены данные, приведенные в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Валовой доход (y), млн руб.	203	63	45	13	121	88	110	56	80	237	160	75
Среднегодовая стоимость основных фондов (x1)	118	28	17	50	56	102	116	124	114	154	115	98
Среднегодовая стоимость оборотных средств (x2)	105	56	54	63	28	50	54	42	36	106	88	46

Требуется:

1. Построить уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованной и естественной форме. Рассчитать частные коэффициенты эластичности.

2. Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции.

3. Рассчитать общий и частные F-статистики Фишера.

4. По результатам расчетов сделать соответствующие выводы.

Решение. Результаты расчетов приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

	y	x1	x2	yx1	yx2	x1x2	x12	x22	y2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	203	118	105	23954	21315	12390	13924	11025	41209
	63	28	56	1764	3528	1568	784	3136	3969
	45	17	54	765	2460	918	289	2916	2025
	113	50	63	5650	7119	3150	2500	3969	12769
	121	56	28	6776	3388	1568	3136	784	14641
	88	102	50	8976	4400	5100	10404	2500	7744
	110	116	54	12760	5940	6264	13456	2916	12100
	56	124	42	6944	2352	5208	15376	1764	3136
	80	114	36	9120	2880	4104	12996	1296	6400
	237	154	106	36498	25122	16324	23716	11236	56169
	160	115	88	18400	14080	10120	13225	7744	25600
	75	98	46	7350	3450	4508	9604	2116	5625
	1351	1092	728	138957	96004	71222	119410	51402	191387
Средн.	112,58	91	60,67	11579,75	80000,3	5935,2			15948,92
	57,219	39,457	24,549
	3273,985	1556,8	602,68

Рассматриваем уравнение вида:

.

Параметры уравнения можно найти из решения системы уравнений:

Или, перейдя к уравнению в стандартизированном масштабе:

, где – стандартизированные переменные, – стандартизированные коэффициенты:

Коэффициенты определяются из системы уравнений:

, ;

;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

.

Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

.

Естественная форма уравнения регрессии имеет вид:

.

Для выяснения относительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности:

,

, .

Следовательно, при увеличении среднегодовой стоимости основных фондов (x₁) на 1% валовой доход (y) увеличивается на 0,388% от своего среднего уровня. При повышении среднегодовой стоимости оборотных средств на 1% валовой доход повышается на 0,762% от своего среднего уровня.

2. Линейные коэффициенты частной корреляции для уравнения (2.1) определяются следующим образом:

,

.

Отличие коэффициентов частной корреляции не слабой межфакторной связью ( ).

Линейный коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле

.

Коэффициент множественной детерминации .

3. , где - объем выборки, - число факторов модели. В нашем случае

.

Так как , то и потому уравнение значимо в целом.

Выясним статистическую значимость каждого фактора в уравнении множественной регрессии.

Для этого рассчитаем частные -статистики.

.

Так как , то и следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора .

.

Так как , то следует вывод о целесообразности включения в модель фактора после фактора .

4. Результаты расчетов позволяют сделать вывод :

1. о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии;

2. о значимости фактора и целесообразности включения его в уравнение регрессии.

В результате значимой оказалась модель .