Программа курса эконометрики

Введение. Предмет и содержание курса эконометрики. Методология эконометрических исследований. Математическая и эконометрическая модель.

Раздел 1. Регрессионная модель. Классическая линейная регрессия в случае одной объясняющей переменной. Множественная линейная регрессия в скалярной и векторной формах. Метод наименьших квадратов (МНК); свойства МНК-оценок; показатели качества регрессии. Теорема Гаусса-Маркова для множественной линейной регрессионной модели. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК). Регрессионные модели с переменной структурой (фиктивные переменные). Нелинейные модели и их линеаризация. Коэффициент множественной детерминации. Различные аспекты множественной регрессии.

Раздел 2. Системы одновременных регрессионных уравнений (СОУ). Основные понятия СОУ: экзогенные и эндогенные переменные; структурная и приведенная формы системы одновременных уравнений. Условия идентифицируемости СОУ, идентификация рекурсивных систем. Косвенный, двухшаговый и трехшаговый методы наименьших квадратов. Применение СОУ.

Раздел 3. Анализ временных рядов. Понятие временного ряда и его компоненты. Аддитивные и мультипликативные модели временных рядов. Модели стационарных и нестационарных временных рядов, их идентификация. Модели распределенных лагов. Модели Бокса-Дженкинса (ARIMA)

Задание № 1

Парная регрессия

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных и :

,

где – зависимая переменная (результативный признак);

– независимая переменная (признак – фактор).

Построение уравнения регрессии или сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических минимальна, т.е.

.

Чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров , и приравнять их к нулю:

Преобразуя последнюю систему, получим

Решая систему уравнений, получим

.

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает коэффициент парной корреляции для линейной регрессии : ,

и индекс корреляции .

Близость к нулю означает отсутствие линейной связи между признаком и фактором.

Средний коэффициент эластичности позволяет проверить, имеют ли экономический смысл коэффициенты модели регрессии.

Из дисперсионного анализа известно, что

,

где – общая сумма квадратов отклонений; – сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией; – остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака характеризует коэффициент (индекс) детерминации

.

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического , и критического (табличного) значений F-критерия Фишера.

определяется по формуле

,

где – число единиц совокупности; – число параметров при совокупности . – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости . Уровень значимости – вероятность отвергнуть правильную гипотезу. Обычно принимается равной 0,05 или 0,01.

Если < , то - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если > , то гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки существенности отдельных параметров уравнения определяется их стандартная ошибка и :

,

где – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Величина имеет -распределение Стьюдента с степенями свободы, которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости , заметим, что .

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как .

Стандартная ошибка параметра определяется по формуле

.

Процедура оценивания значимости данного параметра ничем не отличается от процедуры оценки значимости коэффициента регрессии .

Точечный прогноз значения признака часто бывает нереальным и дополняется расчетом стандартной ошибки и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения : ,

.

Для оценки качества модели определяется средняя ошибка аппроксимации: , допустимые значения которой 8 - 10 %.

ПРИМЕР 1. В табл. 1.1 приведены данные о годовой выручке ( ) от реализации продукции за десятилетний период.

Таблица 1.1

Год	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999
Выручка от реализации (млн у.е.)	14	16	18	20	25	28	45	50	58	66

Требуется:

1. Для определения вида зависимости рассчитать параметры и функций: 1) , 2) .

2. Определить тесноту связи и значимости параметров уравнения, используя F-распределение (Фишера) и -критерий (Стьюдента), выбрав уровень значимости .

3. Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации.

4. Рассчитать прогноз выручки от продаж при прогнозном значении фактора , составляющим 102% от среднего уровня. Оценить точность прогноза и его доверительный интервал.

5. Сделать выводы по результатам расчетов.

Решение. Присвоим каждому году соответствующий номер 1, 2, …, 10.

Составим таблицу расчетов 1.2.

Все расчеты в таблице велись по формулам

.

Тогда , и линейное уравнение регрессии примет вид: .

1. Рассчитаем коэффициент корреляции:

.

Так как значение коэффициента корреляции близко к единице, то связь между признаком и фактором тесная.

2. Вычислим значение -критерия Фишера.

Таблица 1.2

																				А(%)
		1		1	14		14		196		-20		-4,5		400	20,25	6,7273	7,2727	52,89	51,948
		2		4	16		32		256		-18		-3,5		324	12,25	12,7879	3,2121	10,318	20,076
		4 3 9 18 54 324 -16 -2,5 256 6,25 18,8485 -0,848 0,7199 ,7138
		4		16	20		80		400		-14		-1,5		196	2,25	24,9091	-4,909	24,099	24,5454
		5		25	25		125		625		-9		-0,5		81	0,25	30,9697	-5,97	35,637	23,8788
		6		36	28		168		784		-6		0,5		36	2,25	37,0303	-9,03	81,548	32,2511
		7		49	45		315		2025		11		1,5		121	6,25	43,0909	1,9091	3,6446	4,2424
		8		64	50		400		2500		16		2,5		256	12,25	49,1515	0,8485	0,7199	1,69697
4 8 9 81 58 522 3364 24 3,5 576 20,25 55,2121 2,7879 7,7723 ,8067
10		100	66		660		4356		32		4,5		1024	20,25	61,2727	4,7273	22,3471	7,1625
		55		385	340		2370		14830		0		0		3270	82,5			239,697	175,32
Среднее значение		5,5		38,5	34		1483		1483										23,9697	17,532
		2,87			18,08
	8,25					327

9

,

где – число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной ); – объем совокупности.

.

По таблице распределения Фишера находим .

Так как , то гипотеза о статистической незначимости параметра уравнения регрессии отклоняется.

Так как , то можно сказать, что 92,7% результата объясняется вариацией объясняющей переменной.

Средняя ошибка аппроксимации вышла за допустимые пределы (8 - 10%), что говорит о ненадежности выбранной модели регрессии.

Выберем в качестве модели уравнения регрессии , предварительно линеаризовав модель. Прологарифмируем обе части равенства: .

Введем обозначения: , . Получим линейную модель регрессии

Рассчитаем коэффициенты модели, поместив все промежуточные расчеты в табл. 1.3.

Таблица 1.3

	0	0	2,639057	0	6,964624	-0,74094	-1.51
	0,693147	0,480453	2,772589	1,921812	7,687248	-0,60741	-0,81685
	1,098612	1,206949	2,890372	3,175398	8,354249	-0,48963	-0,41139
	1,386294	1,921812	2,995732	4,152967	8,974412	-0,38427	-0,12371
	1,609438	2,59029	3,218876	5,180581	10,36116	-0,16112	0,099438
	1,791759	3,210402	3,332205	5,970509	11,10359	-0,0478	0,281759
	1,94591	3,786566	3,806662	7,407423	14,49068	0,426662	0,43591
	2,079442	4,324077	3,912023	8,134823	15,30392	0,532023	0,569442
	2,197225	4,827796	4,060443	8,921705	16,4872	0,680443	0,687225
	2,302585	5,301898	4,189655	9,647037	17,55321	0,809655	0,792585
	15,10441	27,65024	33,81761	54,51225	117,2803
Среднее значение	1,510441	2,765024	3,381761	5,451225	11,72803
	0,6954		0,507379
	0,483592		0,2574336