5. Шар, сфера

Введем следующие обозначения:

R – радиус шара, S – площадь сферической поверхности (площадь поверхности шара), V – объем шара, h – высота шарового сегмента, S_сегм. – площадь сферической части поверхности сегмента, V_сект. – объем шарового сектора.

Основные формулы:

.

S_сегм. = 2Rh

V_сект. =

Пример 9. Площадь поверхности одного шара в 16 раз больше площади поверхности другого шара. Во сколько раз объем первого шара больше объема второго шара?

Решение. Обозначим буквами R₁ и R₂ радиусы первого и второго шаров соответственно, а буквами S₁ и S₂ – площади поверхностей этих шаров. Тогда S₁ = 16S₂ , отсюда следует, что

R₁² = 16R₂² , R₁ = 4R₂. Тогда

= 64.

Ответ: 64.

Тренировочные задания

1) [4] Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны . Найдите объем параллелепипеда.

( Отв. 665,5).

2) [4] В цилиндрический сосуд налили 2100 см³ воды. Уровень воды при этом достиг высоты 20 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см. Чему равен объем детали?

( Отв. 525 см³).

3) [4] В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1900 см³ воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 20 см до отметки 22 см. Найдите объем детали.

( Отв. 190 см³).

4) [4] В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

(Отв. 90,5 ).

5) [4] Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 40.

( Отв. 120).

6) [4] Объем конуса равен 48. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которе является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

( Отв. 6).

7) [4] Диагональ куба равна 3. Найдите площадь его поверхности.

( Отв. 18 ).

8) [4] Найдите объем параллелепипеда , если объем треугольной пирамиды равен 3.

( Отв. 18 ).

9) [4] Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

(Отв. 2 ).

10) [4] Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?

( Отв. 3 ).

11) [9] Бильярдный шар весит 360 г. Сколько граммов весит шар вдвое меньшего радиуса, сделанный из того же материала?

(Отв. 45).