2. Пирамиды

Введем следующие обозначения:

S – площадь основания пирамиды, H – высота пирамиды, V – объем пирамиды, P – периметр основания пирамиды, l – апофема ( высота треугольника, образующего боковую грань пирамиды), S_бок. – площадь боковой поверхности пирамиды.

Основные формулы:

V = ⅓ SH

Для правильной пирамиды S_бок.= ½ Pl.

Пример 3. Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребрами AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ равен 18. Найдите объем пирамиды АВСB₁.

Решение. Объем параллелепипеда V_пар.= S_осн.H. Пирамида АВСB₁ имеет основание, равное половине основания параллелепипеда, и высоту, равную высоте параллелепипеда. Следовательно, V_пир. = ⅓½ S_осн.H = = 3.

Ответ: 3.

Пример 4. На сколько процентов изменится площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если стороны ее основания увеличили на 20%, а апофему уменьшили на 20%?

Решение. Обозначим сторону основания пирамиды буквой а, тогда периметр основания пирамиды равен 4а, а площадь боковой поверхности S_бок.= ½ 4а l = 2а l. После изменения сторон основания и апофемы площадь боковой поверхности стала равной S_бок. = 21,2а0,8 l =

= 1,92l . Чтобы узнать на сколько процентов S_бок. меньше, чем S_бок., вычислим

Ответ: 2%.

3. Цилиндр

Введем следующие обозначения:

R – радиус основания цилиндра, H – высота цилиндра, V – объем цилиндра, S_бок. – площадь боковой поверхности цилиндра.

Основные формулы:

S_бок. = 2RH ; V = R²H .

Пример 5. В цилиндрический сосуд налили воду. Уровень воды при этом достиг h см. Затем эту воду перелили в другой цилиндрический сосуд, в котором ее уровень оказался на 44% выше, чем в первом. На сколько процентов радиус основания первого цилиндра больше радиуса основания второго цилиндра?

Решение. Обозначим радиусы оснований первого и второго цилиндров буквами R и R₁ соответственно. Объем воды можно вычислить по формулам:

V = R²h и V = R₁²1,44h .

Составим уравнение:

R²h = R₁²1,44h,

из которого получим R² = 1,44 R₁². Следовательно, R = 1,2 R₁. Чтобы узнать, на сколько процентов R больше, чем R₁, вычислим = 20%.

Ответ: 20%.

Пример 6. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 см и

12 см. Боковое ребро призмы равно см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение. Основаниями цилиндра являются круги, ограниченные окружностями, описанными около прямоугольных треугольников, лежащих в основаниях призмы. По теореме 7 занятия 15 центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, следовательно, радиус этой окружности равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора гипотенуза треугольника, лежащего в основании призмы, равна см, значит радиус окружности равен 6,5 см. Высотой цилиндра, очевидно, служит высота призмы. Тогда площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около этой призмы, S_бок. = 2RH = 2 = 39.

Ответ: 39 см².

4. Конус

Введем следующие обозначения:

R – радиус основания конуса, H – высота конуса, l – образующая конуса, V – объем конуса, S_бок. – площадь боковой поверхности конуса.

Основные формулы:

S_бок. = Rl ; V = R²H .

Пример 7. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат со стороной равной 3, а высота ее равна . Найдите объем конуса, описанного около пирамиды.

Решение. Основанием конуса является круг, в который вписан квадрат, лежащий в основании призмы. Радиус этого круга равен половине диагонали квадрата: R = . Следовательно, объем конуса V = R²H =  = 15.

Ответ: 15.

Пример 8. Площадь боковой поверхности конуса равна 15. Радиус его основания равен 3. Найдите высоту конуса.

Решение. По формуле для вычисления площади боковой поверхности конуса Rl = 15. Откуда следует, что образующая конуса l = 5. Высоту конуса найдем по теореме Пифагора: = 4.

Ответ: 4.