1.4. Предмет теорії систем

Теорія систем являє собою аксіоматичну математичну теорію, в рамках якої розроблено концептуальний апарат і ефективні мето­ди дослідження систем довільної природи. В теорії систем дається математичне визначення її предмета. Це визначення базується на формалізації зв'язків між елементами системи. Якщо формалізовано

14

уявлення про зв'язок між двома елементами, формальний опис системи взаємозв'язаних (взаємодіючих) елементів А і, ... ,А_К перетворюється на композицію таких формальних зв'язків між відповідними парами елементів (А і , А^). Зв'язок завжди означає взаємодію елементів. У результаті приходимо до висновку, що система являє собою взаємодіючі в часі процеси.

Трансформація системи привела до математичного визначення її предмета, яке ввів Р. Калман [4]. Він виділив основні поняття і сформулював основні проблеми, з яких виросла, інтенсивно розвивається й знаходить широке практичне застосування сучасна теорія систем.

Для формалізації поняття зв'язку використовуються деякі первинні поняття. Вони відображають деякі сторони організації реальних процесів. Будь-який процес являє собою послідовність у часі реальних явищ. При цьому він не є абсолютно довільною послідовністю: явища якимсь чином об'єктивно організовані. Ця організація, порядок і є змістом поняття "система". В найбільш загальному вигляді цей порядок установлюється двома принципами діалектичного матеріалізму: детермінізмом і причинністю.

"Усі форми реальних взаємозв'язків явищ у кінцевому рахунку складаються на основі загальнодіючої причинності, поза якою не існує жодне явище дійсності... Причинність загальна, бо немає явищ, які не мали б своїх причин, так і немає явищ, які не породжували б тих або інших наслідків" [5]. Філософське розуміння детермінізму тісно пов'язане з поняттям причинності. "Центральним ядром детермінізму служить положення про існування причинності, тобто такого зв'язку явищ, в якому одне явище (причина) при досить певних умовах з необхідністю породжує інше явище (наслідок)" [5].

При математичному формулюванні цих положень поняття при­чинності відображається в понятті стану і властивостей закону зміни стану, а поняття "певні умови" — в понятті входу. Причинно-наслідковий зв'язок, який задовольняє принципи детермінізму і причинності, означає, по-перше, що жодне реальне явище не виникає спонтанно, довільно, завжди є передуюче йому в часі, інше реальне явище, яке його викликає. По-друге, жодне явище, яке реалізувалось у даний момент часу, не залежить від того, які реальні явища пройдуть в моменти часу, що настануть за вказаним (у теорії систем цю властивість називають причинністю). Та обставина, що в даний момент реалізувалося певне явище, а не якесь інше, вказує на наявність певних основ для реалізації саме цього явища. В цьому виражається принцип детермінізму реальних процесів.

15

Неможливість довільного виникнення явища приводить при фор­малізації закономірності поведінки процесу до необхідності введення іншого процесу, який знаходиться з даним у причинно-наслідковому зв'язку. В теорії систем причинний процес називають входом, а процес-наслідок — виходом.

Іншим фундаментальним поняттям теорії систем є поняття стану. В літературі, присвяченій теорії систем, концепції стану надається особ­лива увага. З одного боку, будь-яка природничо-наукова теорія викорис­товує це поняття, а з іншого — ніхто не бачив і не виміряв стан реаль­них об'єктів (процесів). Експериментально встановлено,, що фізичні властивості об'єктів змінюються залежно від стану, й ці властивості завжди можна ідентифікувати. Однак сам стан завжди скритий. Наяв­ність стану можна обгрунтувати різними способами.

Реальна система завжди включає два процеси, один з яких зале­жить від іншого. Разом з тим при формальному аналізі характеру залеж­ності виходу від входу виявляється, що безпосереднього зв'язку між ними немає. Дійсно, реальна подія в момент часу І не може залежати від того, що в цей момент реально не існує. Події, які пройшли в процесі-вході в моменти т, передуючи моменту /, у момент і не є реальністю. Тому подія, що являє собою конкретне значення виходу в момент і, не залежить від значень входу в моменти X < І. Разом з тим вихід у момент і також не залежить від входу, який реалізується в той самий момент і, оскільки вплив одного явища на інше не може бути миттєвим, розпо­всюдження сигналу завжди проходить з кінцевою швидкістю. Причина і наслідок не можуть виникати одночасно.

З одного боку, вихід залежить від входу, а з іншого — не за­лежить. Розв'язання цього протиріччя полягає в тому, що залеж­ність виходу від входу є опосередкованою. Це показує, що існують об'єкти, які зв'язують усю попередню історію входів-причин до моменту / і вихід у цей момент. Такі об'єкти називають станами. Таким чином, конкретною причиною явища в процесі-виході, ос­новою реалізації саме цього явища слід вважати деякий стан (де­термінізм).

У кожний момент і система характеризується деяким станом-елементом її множини станів, який однозначно визначає значення ви­ходу в цей момент (, і це — одна з аксіом теорії систем. Вплив входу на вихід зводиться до залежності стану в кожний момент і від проце-су-виходу, який реалізується до цього моменту І, тобто в стані нако­пичуються всі причини, що реалізувалися в минулому і які визнача­ють теперішній стан. Якщо в конструкції поняття системи ви-

16

користання процесів входу і виходу було зумовлено фізичними уяв­леннями про функціонування системи, то поняття стану має відношення до закону формування виходу. Об'єкт, що взаємодіє з системою, може здійснити цю взаємодію тільки через вхід і вихід си­стеми, а встановити безпосередній зв'язок із процесом у просторі станів неможливо. Знання, в якому стані знаходиться система в де­який момент часу, може бути отримане лише в результаті розв'язування деякої теоретико-системної задачі.

Крім входу, стану і виходу є ще два об'єкти, які необхідні при побудові поняття системи. Поняття системи також містить обме­ження на можливі процеси. Це обмеження виражається так званими відображенням виходу й перехідним відображенням. Оскільки вихід однозначно визначається станом, то існує зв'язок між ними, який виражається відображенням із множини станів у множину значень, що приймаються виходом, яке називається відображенням виходу. Аналогічно існує зв'язок між входом та станом. Якщо в момент І_о система характеризувалася станом х°, а в момент і,> іо — станом X^і, причому в моменти часу Т, де і₀ < Т < і_іг вхід приймав деякі

значення и (т), то зміна стану саме в стан х¹, а не в будь-який інший, викликається дією визначеного закону поведінки системи. Іншими словами, існує ще одна характеристика — закон, якому підпорядковується поведінка системи в просторі станів. У процесі формалізації цей закон можна описати у вигляді відображення, яке кожному стану і кожному входу ставить у відповідність якийсь стан, причому це відображення залежить від двох моментів часу й від па­раметрів системи. Воно називається перехідним відображенням.

Таким чином, конструкція поняття системи включає первинні поняття входу и (і), стану х (?) і виходу у (?), а також відношення між цими поняттями, вираженими відображеннями виходу та переходами (рис. 1.3).

Рис 1.3. Система як перет

.входу у вихід через свій стан

4 (0

Знання множини/ станіву% гіерехідного відображення і Зображення виходу дає змогу відповісти на такі питання: 1) яку поведінку може мати система; І2)'сяк необхідно підійти до

розв'язування задачі про передбачення поведінки системи; 3) як розв'язати задачу забезпечення необхідної поведінки.

Розв'язування цих задач базується на методології і основних ідеях системного дослідження, які включають у себе питання побу­дови моделі систем, які відображають взаємозв'язки реальних ситу­ацій, їх аналізу, синтезу та керування.

1.5. Основи формалізму теорії систем

Раніше вже відмічалось, що при формалізації системи викорис­товуються три процеси: вхід, вихід і процес у просторі станів. Для математичного завдання процесу необхідно виділити множину його значень та впорядковану множину, що фіксує, в якій послідовності ці значення реалізуються. Досить часто впорядковану множину тра­ктують як час, і тоді мають справу з процесами, що проходять у часі. Впорядкована множина для цих трьох процесів уважається однією й тією ж і називається множиною моментів часу. Вона позначається через Т. Через II, V і X позначають відповідно множини значень входу, виходу і множину станів. Значеннями вхідних и (ґ) і вихідних у (і) процесів, а також процесів стану х (і) системи в деякий момент часу є відповідно елементи множин II, У та X: и (і)е\3, у (У)є У і х(()еХ.

Кожна конкретна система характеризується своєю множиною входів, які є допустимими для цієї системи. Множина всіх реакцій системи, тобто виходів також є характеристикою системи. Конкрет­ний вихід у (?) є У в кожний момент і повністю визначається станом і тільки станом системи в цей момент х (і)вХ. Тоді існує відображення елементів множини X в елементи множини У (X—>У) таке, що виконується співвідношення

у(і) = т](і,х(і)), ієТ. (і.і)

Тут залежність відображення г\ від і означає, що характер залеж­ності виходу від стану зі зміною часу може змінитися.

Відсутність залежності виходу у в момент і від и (?) можна та­кож інтерпретувати як неможливість за нескінченно малий час, змінюючи вхідну дію, викликати зміну виходу системи. Разом із тим у теорії дискретних за часом систем відображення ц інколи виз­начають і на множині II, тобто співвідношення (1.1) має вигляд

Це пояснюється тим, що час реакції виходу на вхід у деяких ситу­аціях безмежно малий по відношенню до інтервалу дискретності, і в

18

і його можна не враховувати. Відображення г\ називається ^ображенням виходу, або функцією спостереження. ^В Відповідно до аксіом до стану, в кожний момент і система зна-одиться в певному стані, причому стан у моменти і >х однозначно начається станом у момент т і відрізком входу и (т, і). У цьому полягає принцип детермінізму (певності) в поведінці систем. При Формалізації цієї обставини встановлюється існування набору відображень елементів множини II у множину X (II-»Х) для всіх значень параметрів тєТ, гєТ і т< і. Конкретне відображення, яке відповідає фіксованим т і і, дозволяє для будь-яких х та будь-яких _и (т, і) визначити стан у момент і, якщо в момент т система зна­ходилася в стані х(г) і використовувався вхід и (т, і), за залежністю

х(і)^_п{х(і),и(%ї)). (1.2)

Аксіома однозначної визначеності стану в моменти і >т за станом у момент т і входу и (т, і) накладає обмеження на набір відображень \І_ХІ. Згідно з цією аксіомою кожний стан системи однозначно ви­значає майбутній стан (детермінізм процесів). Виходячи із залеж­ності (1.2), можна побудувати відображення а, через яке ви­значається стан системи

х(і)=о(і;т,х(т),и(т,і)). (1.3)

Перехідне відображення а повинно відповідати вимозі, що х =а(і; і, х, и) при всіх і, х, и, тобто за проміжок часу нульової дов­жини система не може перейти в інший стан (або в один і той же мо­мент часу система не може знаходитися в двох різних станах). Крім того, відображення о" повинно бути таким, щоб стан у момент і не залежав від значень входу, які поступають у моменти часу, більші від моменту і.

Виходячи з попередніх залежностей, можна дати математичне визначення системи.

Деяка система X визначена, якщо задані впорядковані множи­ни моментів часу Т, моножини значень входів II, виходів У і станів X, перехідне відображення О, яке задовольняє аксіомам узгодже­ності, детермінізму й причинності, і відображення виходу 7] такі, що Для будь-якого у (і) є У існує х (г)єХ і и (г)єіі, для яких при будь-яких *» Де Т< г, виконується співвідношення

у(і)=т](і,(у(і; т, х(т), к(т,0)), (і.4)

19

і, навпаки, будь-який процес у {і), />т, отриманий відповідно (1.4), належить У.

Іншими словами, систему, яка породжує процеси виходів з V, можна визначити трьома величинами а, X, т]. Ця трійка є виразом закону поведінки системи, введеним Р.Калманом [4]. Більш тра­диційним є визначення системи шляхом задання співвідношень, які описують відображення о. Ці співвідношення (рівняння) називають моделлю системи. Однак останнє визначення є менш загальним. Опис системи, наприклад, у термінах диференціальних рівнянь ви­магає гладкості відображення ст, що в загальному випадку не обов'язкове.