Наращение по простым процентным ставкам
Формула наращения:
(1) 
, где
‑
годовая процентная ставка, выраженная
в долях единицы;
‑
продолжительность периода начисления
в годах;
При этом
(2) 
-
коэффициент наращения.
Преобразуем формулу (1):
;
понятно, что
,
где
-
сумма начисленных процентов.
следовательно:
(3) 
-
сумма начисленных процентов.
Задача
Ссуда равна 700 тыс. руб., срок ссуды – 4 года, проценты простые по ставке 20% годовых, начисляются по окончании срока ссуды.
1). Определить: - сумму процентов;
- сумму накопленного долга;
- коэффициент наращения.
2). Определить: то же, что и в п.1 при условии увеличения ставки в 2 раза, а также определить, во сколько раз произойдет увеличение рассчитанных величин по сравнению с условиями п.1.
Решение.
1). (ф.3)
(ф.1)
(из ф.3) 
(ф.2) 
(ф.2) 
2). 
;
увеличение в
раза.
;
увеличение в
раза.
;
увеличение в
раза.
Задача
Вычислить проценты, сумму накопленного долга и коэффициент наращения, если размер ссуды – 450 тыс. руб., процентная ставка – 20% годовых, проценты простые, срок ссуды – три года.
Решение.
--------------------------------------------------
Если период начисления меньше года, то формула (1) примет вид:
(1.1) 
, где
‑
продолжительность периода начисления
в днях (месяцах, кварталах);
‑
количество дней (месяцев, кварталов) в
году;
и, соответственно:
(2.1) 
-
коэффициент наращения.
(3.1) 
-
сумма начисленных процентов.
Примечание: и должны подставляться в формулы в одних единицах.
Задача
Дядя Вася положил в банк 900 руб. на вклад сроком на три месяца под 15% годовых. Какую сумму получит дядя Вася по окончании срока вклада?
Решение.
(ф.1.1)
Задача
Банк открывает депозитные счета физическим лицам по ставке 18% годовых сроком на 3, 4 и 6 месяцев. Какую сумму можно накопить во всех перечисленных случаях, если депонировать в банке 15 тыс. руб.? Рассчитать также коэффициенты наращения.
Решение.
3 мес.: (ф.1.1) 
4 мес.: 
6 мес.: 
Задача
Машиностроительный завод поставил в НПО «Кузбасс» станок стоимостью 900 тыс. USD. НПО «Кузбасс» не в состоянии произвести расчет немедленно. Договорились оформить отсрочку платежа на 91 день дисконтным векселем. Плата за отсрочку – проценты по ставке 13% годовых. Количество дней в году 365. Рассчитать номинал векселя.
Решение.
1Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд.
Поскольку процентная ставка, как правило, устанавливается в расчете за год, то при сроке ссуды менее года необходимо определить, какая часть годового процента уплачивается кредитору. Аналогичная проблема возникает и в случаях, когда срок ссуды меньше периода начисления.
При расчете процентов применяют две временные базы:
1). = 360 дней - обыкновенные или коммерческие проценты и
2). = 365, 366 дней – точное число дней в году ‑ точные проценты.
Число дней ссуды также можно измерить приближенно и точно:
1). приближенно: любой полный месяц считается равным 30 дням; неполный месяц – считается точное количество дней;
2). точно: производится подсчет числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения.
День выдачи и день погашения во всех случаях считаются за один день.
Итак, возможны и применяются на практике три варианта расчета простых процентов.
1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. Применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками, например, в Великобритании, США. В коммерческих документах он обозначается как 365/365 или АСТ/АСТ.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод распространен в межстрановых ссудных операциях, а также во Франции, Бельгии, Швейцарии. Он обозначается, как 365/360 или АСТ/360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. Заметим, что при числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой.
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Метод условно обозначается как 360/360.
4 Вариант расчета с точными процентами и приближенным числом дней ссуды лишен смысла и не применяется.
Если общий срок ссуды захватывает два смежных календарных года и есть необходимость в делении суммы процентов между ними (например, при определении годовых сумм дохода и т.д.), то общая сумма начисленных простых процентов составит сумму процентов, полученных в каждом году.
Необходимость деления начисленных процентов по годам возникает автоматически в том случае, если ссудная операция захватывает два календарных года и один из них при этом високосный, а договором определен метод начисления точных процентов.
Задача
Исходные данные предыдущей задачи. Рассчитать номинал векселя при условии, что оборудование поставлено 25 мая, а оплата будет произведена 15 декабря. Договором определен вариант расчета процентов 360/360.
Решение.
Месяц |
Количество дней в месяце |
Количество дней, включаемое в расчет продолжительности ссуды, |
Май |
31 |
7 |
Июнь |
30 |
30 |
Июль |
31 |
30 |
Август |
31 |
30 |
Сентябрь |
30 |
30 |
Октябрь |
31 |
30 |
Ноябрь |
30 |
30 |
Декабрь |
31 |
15-1=14 |
|
Всего дней ссуды |
201 |
Задача
Ссуда размером 100 тыс. руб. выдана с 20 января по 10 марта под 18% годовых. Год високосный. Рассчитать сумму процентов тремя методами: 365/365, 365/360 и 360/360.
Решение.
Месяц |
365/365 |
365/360 |
360/360 |
Январь |
12 |
12 |
12 |
Февраль |
29 |
29 |
30 |
Март |
10-1=9 |
10-1=9 |
10-1=9 |
Всего дней ссуды |
50 |
50 |
51 |
1). Метод 365/365:
2). Метод 365/360:
2). Метод 360/360:
До июня 1998г. коммерческие банки России при выдаче ссуд физическим и юридическим лицам, как правило, стремились реализовать 2 и 3 вариант начисления процентов (прописывают в условии договора временную базу 360 (365) дней в году и 30 дней в месяце). Предпринимателям приходилось отстаивать более выгодные для себя условия (при получении ссуды – метод начисления 360/360, при размещении депозита – метод 365/360).
Задача
Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана под 19% годовых с 20 января по 5 октября. Год високосный. Проценты начисляются и уплачиваются в конце срока. Рассчитать сумму гашения тремя методами.
Решение.
Месяц |
365/365 |
365/360 |
360/360 |
Январь |
12 |
12 |
12 |
Февраль |
29 |
29 |
30 |
Март |
31 |
31 |
30 |
Апрель |
30 |
30 |
30 |
Май |
31 |
31 |
30 |
Июнь |
30 |
30 |
30 |
Июль |
31 |
31 |
30 |
Август |
31 |
31 |
30 |
Сентябрь |
30 |
30 |
30 |
Октябрь |
5-1=4 |
5-1=4 |
5-1=4 |
Всего дней ссуды |
259 |
259 |
256 |
1). Метод 365/365:
2). Метод 365/360:
3). Метод 360/360:
Задача
Кредит по ставке 15% годовых и суммой 50 тыс. руб. выдан с 1 декабря текущего календарного года по 1 февраля следующего года. Второй календарный год – високосный. Проценты начисляются и уплачиваются 20‑го числа каждого месяца и в день окончания ссуды. Число дней ссуды точное, проценты точные.
Определить суммы процентов на даты начисления и общую сумму процентов за весь период ссуды.
Решение.
1). Начисление процентов 20 декабря.
= 20-1 = 19 дней; = 365 дней.
2). Начисление процентов 20 января.
Поскольку предыдущий календарный год имел продолжительность 365 дней, а год, в котором в текущий момент начисляются проценты – 366 дней, то начисление точных процентов возможно только за две операции: с 20 декабря по 31 декабря и с 1 января до 20 января.
2.1). Начисление процентов с 20 декабря по 31 декабря.
= 12 дней; = 365 дней.
2.2). Начисление процентов с 1 января до 20 января.
= 19 дней; = 366 дней.
Всего 20 января начислено процентов 246.58 + 389.34 = 635.92(руб.)
3). Начисление процентов 1 февраля.
= 12 дней; = 366 дней.
Общая сумма начисленных процентов за срок ссуды составит:
= 390.41+635.92+245.90=1272.23(руб.)
Задача
25 ноября клиент внес в банк 25 000 руб. под 16% годовых.
Определить сумму, полученную им при изъятии вклада 25 марта, если проценты начисляются по простой ставке методом 365/365, а первый год – високосный.
Решение.
1). За период с 25 ноября по 31 декабря включительно.
= 6 (в
ноябре) + 31 (в декабре) = 37(дней)
= 366 дней.
2). За период с 1 января по 25 марта.
= 31 (в январе) + 28 (в феврале) + (25-1) (в марте)= 83(дня)
= 365 дней.
3). Будет получена сумма:
25 000 + 404.37 + 909.59 = 26 313.96(руб.)