Контрольные задания
І. Теория вероятностей.
1А. Определение сложных событий.
Задача 1.2. Производится два броска по баскетбольному кольцу. Определить сложное событие, состоящее в попадании в кольцо одного мяча.
Решение:
Пусть событие C – «в кольцо попал один мяч».
Рассмотрим следующие события:
событие А – «при первом броске мяча был промах, при втором – попадание»,
событие В – «при первом броске мяча было попадание, при втором – промах».
Суммой двух событий А и B называется событие D, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих вместе.
Произведением двух событий А и В называется событие E, состоящее в совместном выполнении события А и события В.
В нашем примере:
С = A + B – AB – это и есть искомое сложное событие, состоящее в попадании одного мяча.
2А. Способы определения вероятностей.
Задача 2.2. В барабане револьвера семь гнезд, из них в шести заложены патроны, а один оставлен пустым. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. Нажимается спусковой крючок. Определить вероятность того, что выстрела не произойдет.
Решение:
Пусть событие А – «выстрела не произошло».
Искомую вероятность события А будем находить по классическому определению вероятностей:
,
где
–
число
исходов, благоприятствующих событию
А,
n – общее число исходов события А.
Из условия задачи:
–
всего
гнезд в револьвере,
–
количество
гнезд в револьвере, где нет патрона.
Искомая
вероятность
равна:
3А. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Задача 3.2. Вычислительная машина состоит из 2 блоков. Надежность (вероятность безотказной работы) в течение времени t первого блока равна р1, второго р2 и т.д. Блоки отказывают независимо друг от друга. При отказе любого блока отказывает вычислительная машина. Найти вероятность того, что машина откажет за время t.
Решение:
Пусть событие А – «машина откажет за время t». Событие А состоит в том, что откажет либо первый блок, либо второй блок, либо откажут оба блока одновременно.
Из условия задачи запишем:
-
вероятность безотказной работы первого
блока,
-
вероятность отказа первого блока:
-
вероятность безотказной работы второго
блока,
-
вероятность отказа второго блока:
Используя теорему умножения вероятностей, находим:
Вероятность
того, что первый блок откажет, а второй
– нет, равна:
,
Вероятность
того, что второй блок откажет, а первый
– нет, равна:
,
Вероятность
того, что оба блока откажут равна:
Тогда, используя теорему сложения вероятностей, найдем искомую вероятность события А:
5А. Закон распределения дискретной случайной величины и ее числовые характеристики.
Задача
5.2. Задана
таблица распределения случайной величины
:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
0,2 |
0,1 |
a |
0,3 |
Определить
«а», найти математическое ожидание
и дисперсию
.
Построить многоугольник распределения.
Решение:
Неизвестную вероятность «а» находим из условия, что:
Подставляя данные, получим:
Значит закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
0,2 |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
2) Математическое ожидание находим по формуле:
Получаем:
3) Дисперсию находим по формуле:
Получаем:
4) Построим многоугольник распределения:
