Задание 4

Доказать, что если .

Теоретическая часть:

На диаграммах Эйлера-Вена множества могут находиться в различных взаимных положениях: общее, не пересекаться, равные, и каждое множество может быть включено в другое.

Практическая часть:

Проведем доказательство с помощью диаграмм Эйлера-Вена. Для этого рассмотрим 5 случаев взаимного положения 2-х множеств: общее, не пересекаются, равны, одно включено в другое и наоборот.

1)Общее:

Пространство, выделенное на картинке, есть множество А. Тогда , рассматривая симметрическую разность между множеством А и множеством С, получим множество В, т.к. разность между А и С даст не закрашенный кусочек, а разность между С и А, исключит элементы, принадлежащие множеству С.

2)Не пересекаются:

Пространство, выделенное на картинке, есть множество А. Тогда, рассматривая симметрическую разность между множеством А и множеством С, получим множество В, т.к. разность между А и С даст пустое множество, а разность между С и А, исключит элементы, принадлежащие множеству С.

3) Равны:

Т .к. множества равны, то их симметрическая разность даст множество А, которое будет пустом. Симметрическая разность множества А с множеством С, даст нам множество В. Следовательно, утверждение также верно.

4) :

П ространство, выделенное на картинке, есть множество А. Тогда, рассматривая симметрическую разность между множеством А и множеством С, получим множество В, т.к. разность между А и С даст не закрашенный кусочек, а разность между С и А, оставит закрашенную область.

5) :

П ространство, выделенное на картинке, есть множество А. Тогда, рассматривая симметрическую разность между множеством А и множеством С, получим множество В, т.к. разность между А и С даст не закрашенный кусочек, а разность между С и А, оставит закрашенную область.

Т.к. во всех случаях данные соотношения остаются верными, то от сюда следует, что .

Задание 5

Построить отношение:

1. Не рефлексивное, симметричное, транзитивное;

2. Антирефлексивное, несимметричное, нетранзитивное.

Теоретическая часть:

Множество – совокупность некоторых вполне различимых элементов, объединенных каким либо свойством и мыслимых как единое целое.

- пустое множество, множество, не содержащее ни одного элемента.

Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

Два множества не равны, если в одном из множеств есть элемент, не принадлежащий другому множеству.

X подмножество Y, если ;

X и Y равны

Кортеж (упорядоченное множество) – совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает вполне определенное место.

Прямым (декартовым) произведением множества X на множество Y – называется упорядоченное множество A, состоящее из таких и только таких элементов (x,y), что x принадлежит X, а y принадлежит Y.

;

Операция декартовое произведение не коммутативна.

;

Операция проектирования справедлива для множеств, элементами которых являются кортежи одинаковой длины.

Операция проектирования множества, состоящего из кортежей - операция выделения первых, вторых и т. д. компонент кортежей и образование из них нового множества.

Отношением на произвольном множестве называется пара .

- область задания, - график.

- область определения.

- область значений.

Способы задания отношений:

1. теоретический

2. матричный (с помощью матрицы смежности)

3. графический

Отношение :

- рефлексивное, если: , единицы на главной диагонали матрицы смежности;

-антирефлексивное, если: ,нули на главной диагонали матрицы смежности;

-симметричное, если: ,единицы симметричны главной диагонали матрицы смежности;

- несимметричное, если: ;

- антисимметричное, если: ,нет ни одной симметричной пары единиц относительно главной диагонали матрицы смежности и на главной диагонали матрицы смежности единицы;

- транзитивное, если: , множество элементов принадлежащих композиции матрицы смежности самой на себя будет подмножеством множества элементов исходной матрицы смежности ;

- нетранзитивное, если транзитивность не выполняется для всех или для некоторых ;

- связное, если

Практическая часть:

1. Не рефлексивное, симметричное, транзитивное;

1.1)матричный способ задания:

	1	2	3	4
1	1	1	1	1
2	1		1	1
3	1	1		1
4	1	1	1	1

1.2) теоретический способ задания:

, ,

1.3)графический способ задания:

2. Антирефлексивное, несимметричное, нетранзитивное;

1.1)матричный способ задания:

	1	2	3	4	5
1		1			1
2			1	1
3		1		1
4		1	1		1
5				1

1.2) теоретический способ задания:

, ,

1.3)графический способ задания: