Задание 1
Доказать или опровергнуть всеми известными вам методами для произвольных множеств справедливость следующих утверждений (при доказательстве указывать используемые определения, правила, законы и эквивалентные преобразования):
1.1)
1.2)
;
Теоретическая часть:
Множество – совокупность некоторых вполне различимых элементов, объединенных каким либо свойством и мыслимых как единое целое.
- пустое множество, множество, не
содержащее ни одного элемента.
Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.
Два множества не равны, если в одном из множеств есть элемент, не принадлежащий другому множеству.
X подмножество Y,
если
;
X и Y равны
Множество, которое содержит все элементы, из которых состоит множество X, называется универсумом.
;
;
;
;
;
Множество всех подмножеств I
и операции
и
образуют алгебру подмножеств множества
I.
выполняется:
Идемпотентность:
;
Коммутативность:
;
Ассоциативность:
;
Дистрибутивность:
;
Поглощение:
При доказательствах были использованы законы алгебры логики для простых и составных высказываний:
-
логические утверждения, тогда:
;
- идемпотентность
;
;
- закон противоречия
- закон исключения третьего
- закон двойного отрицания
;
- законы де Моргана
;
- коммутативность
;
- ассоциативность
;
- дистрибутивность
Практическая часть:
Доказательство 1.1:
1.1.1)Доказательство с помощью метода от противного:
Предположим, что:
Следовательно, наше предположение неверно. Т. о. равенство 1.1 выполняется.
1.1.2)Доказательство с помощью эквивалентных преобразований:
Т. о. равенство 1.1 выполняется.
1.1.3)Доказательство с помощью диаграмм Эйлера-Вена:
Разность между одинаковыми диаграммами дает пустое множество.
Т. о. равенство 1.1 выполняется.
Доказательство 1.2:
1.2.1) Доказательство взаимным включением:
1) Докажем, что:
ч.т.д.
2) Докажем, что:
ч.т.д.
Т. о. равенство 1.2 выполняется.
1.2.2) Доказательство с помощью метода от противного:
Докажем, что:
;(*)
Предположим, что:
Следовательно, наше предположение неверно. Т. о. равенство (*) выполняется.
2) Докажем, что:
;
(**)
Предположим, что:
Следовательно, наше предположение неверно. Т. о. равенство (**) выполняется.
Т. о. равенство 1.2 выполняется.
1.2.3)Доказательство с помощью диаграмм Эйлера-Вена:
Т. о. равенство 1.1 выполняется.
1.2.4)Доказательство с помощью эквивалентных преобразований:
Т. о. равенство 1.2 выполняется.