Вопрос 8 Дайте определение производной. Приведите примеры.

В этой статье дадим основные понятия, на которых будет базироваться вся дальнейшая теория по теме производная функции одной переменной.

Путь x – аргумент функции f(x) и   - малое число, отличное от нуля.

 (читается «дельта икс») называют приращением аргумента функции. На рисунке красной линией показано изменение аргумента от значения x до значения   (отсюда видна суть названия «приращение» аргумента).

При переходе от значения аргумента   к   значения функции изменяются соответственно от   до   при условии монотонности функции на отрезке  . Разность   называют приращением функции f(x), соответствующем данному приращению аргумента. На рисунке приращение функции показано синей линией.

Рассмотрим эти понятия на конкретном примере.

Возьмем, к примеру, функцию  . Зафиксируем точку   и приращение аргумента  . В этом случае приращение функции при переходе от   к   будет равно

Отрицательное приращение   говорит об убывании функции на отрезке  .

Графическая иллюстрация

Определение производной функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b),   и   - точки этого промежутка.Производной функции f(x) в точке   называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при  . Обозначается  .

Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, чтопроизводная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то и производная функции в этой точке не существует.

Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке  , когда она имеет в ней конечную производную.

Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке  , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию  , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b).

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Проведем разграничения в природе понятий производной функции в точке и на промежутке: производная функции в точке – это есть число, а производная функции на промежутке – это есть функция.

Пример.

Найти производную функции   в точке  , используя определение.

Решение.

Так как мы ищем производную функции в точке, то в ответе должно быть число. Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента и воспользуемся формулами тригонометрии:

Осталось применить первый замечательный предел для получения конечного результата:

Ответ:

Пример 2 Используя определение, найти производную функции  .

Решение.

По определению производной      

Вопрос 9 Каковы свойства производной. Приведите примеры.

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:  2. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций  3. Производная произведения  4. Производная дроби (производная частного)  5. Производная сложной функции

Вопрос 10 Что называют неопределенным интегралом функции? Приведите примеры. Если функция является первообразной для , то выражение называется неопределённым интегралом от функции. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x)(дифференциала f(x)dx) на отрезке [a,b], если F’(x) = f(x) для  .  Нетрудно видеть, что функция   является первообразной для функции cos³x. Действительно,  .  Докажем несколько свойств первообразных.  Теорема 1. Если F(x) – первообразная для функции f(x), то F(x) + C, где C- некоторая константа, также является первообразной для f(x).  Доказательство. Действительно, (F(x) + C)’ = F’(x) + C’ = f(x). Теорема доказана.  Теорема 2. Если F(x) и Ф(x) две первообразные одной и той же функции, то их разность F(x) – Ф(x) есть константа на [a,b]. Следствие. Любые две первообразные одной и той же функции связаны соотношением Ф(x) = F(x) + C.  Определение. Множество всех первообразных функции f(x) (дифференциала f(x)dx) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается  . Свойства неопределенного интеграла:  1.  ;  2.  ;  3.  ;  4.  ;  5.  Свойства 3 и 4 означают линейность операции интегрирования. Свойство 5 следует из инвариантности формы первого дифференциала и лежит в основе нахождения интеграла с помощью замены переменной.  Используя свойства 1-5 и свойства дифференциалов, сводят вычисление интегралов к так называемым табличным интегралам