random books / Ландсберг- Элементарный учебник физики Т. 3.Колебания и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика(2009)

Рис. 210. Изображения протяженных объектов в вогнутом сферическом зеркале. Объект расположен: а) за центром зеркала (изображение действительное, обратное и уменьшенное); б) между центром и фокусом (изображение действительное, обратное и увеличенное); в) ближе фокуса (изображение мнимое, прямое и увеличенное)

точно такое же выражение, какое мы получили для сферического зеркала:

Рис. 211. Линейное увеличение линзы β = S1S2/S1S2 = a /a

Наряду с линейным увеличением мы будем рассматривать также угловое увеличение линзы (или сферического зеркала). Угловым увеличением γ называется отношение тангенсов углов α и α, составляемых лучом, выходящим из линзы, и лучом,

Рис. 212. Угловое увеличение линзы γ = tg α / tg α = a/a

Из рис. 212 видно, что

h = a tg α = a tg α ;

отсюда

γ = tg α / tg α = a/a .

Сравнивая это соотношение с (96.1), находим

т. е. угловое увеличение есть величина, обратная линейному увеличению. Из этого следует, что чем больше линейное увеличение, т. е. размеры изображения, тем меньше угловое увеличение, т. е. тем менее широки пучки световых лучей, образующих изображение. Это обстоятельство имеет важное значение для понимания вопроса о яркости изображения (см. гл. XI).

§ 97. Построение изображений в сферическом зеркале и линзе. При п о с т р о е н и и и з о б р а ж е н и я любой точки

источника нет надобности рассматривать м н о г о лучей. Для этого достаточно построить д в а луча; точка их пересечения определит местоположение изображения. Удобнее всего построить те лучи, ход которых легко проследить. Ход этих лучей в случае отражения от зеркала изображен на рис. 213.

Луч 1 проходит через центр зеркала и поэтому нормален к поверхности зеркала. Этот луч возвращается после отражения точно назад вдоль побочной или главной оптической оси.

Луч 2 параллелен главной оптической оси зеркала. Этот луч после отражения проходит через фокус зеркала.

Луч 3, который от точки объекта проходит через фокус зеркала. После отражения от зеркала он идет параллельно главной оптической оси.

Рис. 213. Различные приемы построения изображения в вогнутом сферическом зеркале

Луч 4, падающий на зеркало в его полюсе, отразится назад симметрично по отношению к главной оптической оси.

Для построения изображения можно воспользоваться любой парой этих лучей.

Построив изображения достаточного числа точек протяженного объекта, можно составить представление о положении изображения всего объекта. В случае простой формы объекта, указанной на рис. 213 (отрезок прямой, перпендикулярный к главной оси), достаточно построить все-

На рис. 214 дан пример построения изображения в выпуклом зеркале. Как было указано ранее, в этом случае получаются всегда мнимые изображения.

Для построения изображения в линзе любой точки объекта, так же как и при построении изображения в зеркале, достаточно найти точку пересечения каких-либо д в у х лучей, исходящих

Следует отметить, что при решении задачи о построении изображения внеосевых точек вовсе не необходимо, чтобы выбранные простейшие пары лучей д е й с т в и т е л ь н о п р о х о- д и л и через линзу (или зеркало). Во многих случаях, например при фотографировании, предмет значительно больше линзы,

и лучи 2 и 3 (рис. 216) не проходят через линзу. Тем не менее эти лучи могут быть использованы для п о с т р о е н и я изображения. Р е а л ь н ы е л у ч и, участвующие в образовании изображения, ограничены оправой линзы (заштрихованные конусы), но с х о д я т с я, конечно, в той же точке S2, поскольку доказано, что при преломлении в линзе изображением точечного источника является снова точка.

Рассмотрим несколько типичных случаев изображения в линзе. Линзу будем считать с о б и р а ю щ е й.

1. Предмет находится от линзы на расстоянии, большем двойного фокусного расстояния. Таково обычно положение предмета при фотографировании.

Рис. 217. Построение изображения в линзе в случае, когда предмет находится за двойным фокусным расстоянием

Построение изображения дано на рис. 217. Поскольку a > 2f , то по формуле линзы (89.6)

a1 = f1 − 1a > 21f , a < 2f ,

т. е. изображение лежит между задним фокусом и точкой, находящейся на двойном фокусном расстоянии от оптического центра линзы. Изображение — перевернутое (обратное) и уменьшенное, так как по формуле увеличения

β = a < 1. a

2. Отметим важный частный случай, когда на линзу падает пучок лучей, параллельных какой-либо побочной оптической оси. Подобный случай имеет место, например, при фотографировании очень удаленных протяженных предметов. Построение изображения дано на рис. 218.

В этом случае изображение лежит на соответствующей побочной оптической оси, в месте ее пересечения с задней фокальной плоскостью (так называется плоскость, перпендикулярная к главной оси и проходящая через задний фокус линзы).

Точки фокальной плоскости нередко называют фокусами соответствующих побочных осей, оставляя название г л а в н ы й ф о к у с за точкой F , соответствующей г л а в н о й оси.

Рис. 218. Построение изображения в случае, когда на линзу падает пучок лучей, параллельных побочной оптической оси

3. Предмет лежит между точкой на двойном фокусном расстоянии и передним фокусом — обычное положение предмета при проецировании проекционным фонарем. Для исследования этого случая достаточно воспользоваться свойством о б р а т и м о с т и изображения в линзе. Будем считать S1S2 источником (см. рис. 217), тогда S1S2 будет являться изображением. Легко видеть, что в рассматриваемом случае изображение — обратное, увеличенное и лежит от линзы на расстоянии, большем двойного фокусного расстояния.

Полезно отметить частный случай, когда п р е д м е т н а х о- д и т с я о т л и н з ы н а р а с с т о я н и и , р а в н о м д в о й- н о м у ф о к у с н о м у р а с с т о я н и ю, т. е. a = 2f . Тогда по формуле линзы

a1 = f1 − 21f = 21f ; a = 2f ,

т.е. изображение лежит от линзы также на двойном фокусном расстоянии. Изображение в этом случае перевернутое. Для увеличения находим

β= 1,

т.е. изображение имеет те же размеры, что и предмет.

Рис. 222. а) Замена линзы главной плоскостью HH; б) символическое изображение собирающей (слева) и рассеивающей (справа) линз; в) замена зеркала главной плоскостью HH

Аналогично, сферическое зеркало можно изображать главной плоскостью, которая касается поверхности сферы в полюсе зеркала, с указанием на главной оси положения центра сферы C и главного фокуса F . Положение C указывает, имеем ли мы

дело с вогнутым (собирающим) или с выпуклым (рассеивающим) зеркалом (рис. 222, в).

§ 98. Оптическая сила линз. Для характеристики оптических свойств различных линз часто пользуются величиной, обратной фокусному расстоянию линзы f . Величина

называется оптической силой линзы.

Чем короче фокусное расстояние, тем сильнее преломляет линза и тем больше D. Таким образом, D может служить характеристикой п р е л о м л я ю щ е й способности линзы.

За единицу оптической силы линзы принимается оптическая сила такой линзы, фокусное расстояние которой равно 1 м; такая единица называется диоптрией (дптр). Оптическая сила всякой линзы (в диоптриях) равна единице, деленной на фокусное расстояние (в метрах). Для собирающих (положительных) линз оптическая сила положительна; для рассеивающих (отрицательных) линз — отрицательна. Так, например, рассеивающая линза с фокусным расстоянием f = 20 см имеет оптическую силу D = −1/0,20 = −5 дптр.

Эти обозначения хорошо известны тем, кто пользуется очками.

?28. Пользуясь методом, примененным для вывода формулы линзы, найдите формулу для преломления на сферической границе раздела двух сред (например, воздух–стекло; рис. 223).

Рис. 223. К упражнению 28

29. Докажите, что фокусные расстояния сферической поверхности (упражнение 28) связаны соотношением

f1/f2 = n1/n2,

где n1 — показатель преломления первой среды, n2 — второй среды.

30.Найдите фокусное расстояние плосковыпуклой линзы, для которой радиус кривизны сферической поверхности равен 80 см. Показатель преломления стекла равен 1,6.

31.Собирающая линза имеет фокусное расстояние 40 см. Предмет находится на расстоянии 1 м от линзы. Найдите расположение изображения, а также линейное и угловое увеличения. Решите задачу с помощью вычислений и графическим путем, построив (в масштабе) изображение небольшого предмета в линзе.

32.Решите предыдущую задачу для случая, когда предмет находится на расстоянии 20 см от линзы.

33.Вогнутое зеркало имеет радиус 40 см. Предмет расположен на расстоянии 30 см от зеркала. Найдите положение изображения и увеличение зеркала. Постройте изображение и определите, прямое оно или обратное.

34.Укажите положение изображения в тонкой линзе, если источник находится на главной оптической оси: а) в бесконечности; б) на двойном фокусном расстоянии; в) в главном фокусе; г) между главным фокусом и линзой.

35.Проанализируйте, как меняются положение и размеры изображения при перемене положения предмета для случаев: а) собирающей линзы; б) рассеивающей линзы; в) вогнутого зеркала; г) выпуклого зеркала.

36.Оптическая сила линзы равна 2 дптр. Найдите ее фокусное расстояние.

37.Постройте изображение в линзе небольшого отрезка, наклоненного к оси под углом 45◦.

38.Плоское зеркало поворачивается на угол β около оси, лежащей в плоскости зеркала и перпендикулярной к падающему лучу; на какой угол повернется при этом отраженный луч?