Численным методом промоделировать дифракцию световой волны на круглом отверстии.

Теоретическое введение:

Пусть плоская световая волна падает на круглое отверстие в непрозрачном экране, радиус отверстия а₀. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, можно считать, что в пределах отверстия расположены когерентные источники вторичных волн. Интенсивность света в некоторой точке В определяется как результат интерференции волн, посылаемых этими источниками ( рис.1 ).

Рис.1

Для вычисления результата интерференции всю поверхность отверстия удобно разбить на зоны так, чтобы расстояние от В до наружного и внутреннего краев отличалось на /2. Считая, что

длина волны  мала по сравнению с Z₀ , нетрудно получить выражение для радиуса m-й зоны r_m и ее площади S_m:

. ,

Очевидно, что действия соседних зон ослабляют друг друга, так как их излучение доходит до В в противофазах. Кроме того, действие зоны уменьшается по мере роста угла между нормалью к плоскости отверстия и направляем на точку В. Если в отверстии укладывается нечетное число зон, то в В наблюдается максимум интенсивности, четное- минимум. Начиная с расстояния , интенсивность на оси убывает монотонно. Чтобы получить пространственное распределение интенсивности, необходимо более строгое рассмотрение.

Из уравнений Максвелла следует, что вектор электрического поля световой волны Е (r,t ) удовлетворяет волновому уравнению:

( 1.1 )

где с- скорость света,

.

В плоскости z=0 задано распределение поля световой волны, отличное от нуля в некоторой конечной области S₀ ( рис.1 ). Требуется определить интенсивность I при любом r и z. Учтем, что пучок распространяется вдоль оси z будем искать решение ( 1.1 ) в виде:

( 1.2 )

где е- единичный вектор, направление которого совпадает с направлением поляризации,

А- комплексная амплитуда электрического поля,

c – волновое число.

В задачах дифракции характерный масштаб изменения А по координате z много больше длины волны , а временной масштаб t – периода оптических колебаний, что приводит к соотношениям:

( 1.3 )

После подстановки (1.2 ) в (1.1 ) с учетом неравенств (1.3) получим так называемое «параболическое» уравнение для комплексной амплитуды, широко применяемое в теории дифракции и нелинейной оптике:

( 1.4 )

В стационарном осесимметричном случае будем иметь :

( 1.5 )

где:

Уравнение ( 1.5 ) в безразмерную форму, вводя координаты Здесь появился характерный параметр называемой дифракционной длинной. Для пучков с плоским фазовым фронтом при во входном зрачке укладывается более одной зоны Френеля, при - менее. Комплексную амплитуду поля А( r, z ) удобно нормировать на начальное значение Тогда ( 1.5 ) запишется следующим образом *:

( 1.6 )

Уравнение ( 1.6 ) допускает интегральное представление решения :

( 1.7 )

где J₀ – Функция Бесселя нулевого порядка. Представление ( 1.7 ) удобнее для численного

моделирования, чем исходное уравнение ( 1.6 ).

Данные для расчетов взять в табл. 3.

Функция I₀():

1. Прямоугольное начальное распределение:

2. Гауссово распределение :

3. Сглаженный пучок :

.

а ) m = 10; б ) m = 15; в ) m = 20 .

Самостоятельно, области изменения переменных r и  , шаг интегрирования h_ и выдачи результатов h_r . Точность можно оценить путем сравнивания профилей интенсивности, полученных с шагом h_ и h_/2 и путем контроля за сохранением полной энергии в сечении пучка, пропорциональной интегралу от интенсивности по поперечному сечению:

;

Результаты расчетов представить в виде графика ,

где