Исследования на модели.
1. Распределение интенсивности на оси симметрии.
Описанная модель позволяет проводить широкую программу численных исследований. Так, рассмотрим зависимость интенсивности волны, пропорциональной квадрату амплитуды, на оси z от расстояния до отверстия для чего построим график зависимости I(0,z). Построение этой и последующих зависимостей удобно производить в
какой-либо системе компьютерной математики. В данном случае была выбрана самая распространенная из них – MathCad 2000.
Рис.3. Зависимость интенсивности волны на оси от расстояния до отверстия
Видно, что при малых z интенсивность на оси испытывает резкие колебания от нулевых значений до максимальных. Это легко объясняется с помощью простой модели зон Френеля – при четном числе зон наблюдается минимум, при нечетном – максимум.
При z>0.3 переколебания отсутствуют и интенсивность на оси плавно уменьшается с ростом расстояния. В этой области в плоскости отверстия размещается только одна зона Френеля, точнее ее часть.
2. Распределение интенсивности по сечению пучка
Рассмотрим распределение интенсивности по сечению пучка. Определим количество зон, укладывающихся в отверстии , если точка наблюдения находится на оси на расстоянии z. С помощью формулы для радиуса зон Френеля получим
;
или
Так, при z=0.08 в отверстии укладываются четыре зоны Френеля и в этой точке наблюдения на оси должен быть минимум интенсивности. При z=0.064 число зон в отверстии становится равным пяти и в этой точке должен наблюдаться максимум интенсивности. Два приведенных ниже графика подтверждают эти выводы.
Рис.4. Распределение интенсивности по радиусу пучка при числе зон
Френеля в отверстии, равном 4 и 5.
3. Пространственная расходимость пучка
Рассмотрим характеристики направленности волнового пучка в дальней зоне (z>1). Для этого построим график зависимости интенсивности от расстояния до оси пучка при z=2 (см. рис.5). Начиная с z=1 эта зависимость практически не изменяется.
В качестве характеристики направленности пучка примем величину угла, под которым виден первый минимум интенсивности. Как видно из графика, тангенс этого угла, рассчитанный в безразмерных единицах , равен 3,8/2=1,95. Для определения угла расходимости надо перейти к обычным единицам:
Рис.5. Распределение интенсивности по радиусу пучка в дальней зоне.
Начиная со второй полуволны масштаб увеличен в 10 раз.
,
где d- диаметр отверстия. Полученное соотношение хорошо согласуется с известным выражением, полученным аналитическим путем
(при рассматриваемых малых углах синус и тангенс совпадают).
Рассматриваемая модель позволяет также рассчитать форму волновых поверхностей на различных расстояниях от отверстия. Действительно, фаза волны, исходя из общего вида решения, может быть записана как
где arg(A(ρ,z)) – аргумент комплексной амплитуды.
Волновая поверхность – поверхность равной фазы. Из предыдущего выражения получим ее уравнение
где в правой части выражения переменную величину z можно в первом приближении заменить значением z рассматриваемой поверхности на оси.
На рис.6 приведены формы волновых поверхностей при значениях z, равных 0.5, 1 и 2 (в длинах Рэлея). Видно, что на расстоянии, равном длине Рэлея, кривизна фронта волны максимальна.
Рис.6. Форма волновых поверхностей на различных
расстояниях от отверстия.
Задания.
Построить распределение интенсивности волны на оси z в диапазоне:
1) 0,2 – 0,5; 2) 0,3 – 1; 3) 0,6 – 2; 4) 0,3 – 0,6; 5) 0,4 – 1,5. Длины даны в единицах длины Рэлея. Рассчитать количество зон Френеля при максимумах и минимумах интенсивности.
Построить распределение интенсивности по радиусу пучка в случае, когда число зон Френеля в отверстии равно:
1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) 6; 5) 7.
Рассчитать ширину пучка на уровне половинной интенсивности на следующих
расстояниях от отверстия (в длинах Рэлея):
2; 2) 1; 3) 2,5; 4) 1,5; 5) 3.
Построить форму волновой поверхности на следующих расстояниях от отверстия:
1) 0,8; 2) 0,9; 3) 1; 4) 2; 5) 3.
Индивидуальные задания.
-
Номер
варианта
Номера задач
1
2
3
4
5
6
1
1.1
2.1
3.1
4.1
5.1
2
1.2
2.2.
3.2
4.2
5.2
3
1.3
2.3
3.3
4.3
5.3
4
1.4
2.4
3.4
4.4
5.4
5
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
6
1.2
2.3
3.4
4.5
5.1
7
1.3
2.4
3.5
4.1
5.2
8
1.4
2.5
3.1
4.2
5.3
9
1.5
2.1
3.2
4.3
5.4
10
1.1
2.2
3.3
4.4
5.5
ЗАДАНИЕ № 2.
Дифракция световых пучков.