
Задача 1
Найти предел:
3x2
+ 11x + 10 x
– 1 3 – x/2
а
)
lim ; г) lim
;
x→
-2
-
x→∞
x + 3
x (sin 5x + sin 6x) lg (x + 1)
б
)
lim ; д) lim ;
x→0
x→0
sin 2x
tg2 3x
в ) lim ; е) lim (e3x – e2x) ∙ ctg 4x
x→0
x→0
Решение:
а) Функция, предел которой при х→ -2 требуется найти, представляет собой частное двух функций. Однако применить теорему о пределе частного ([2], гл.6. § 5 теорема4) в данном случае нельзя, так как предел функции, стоящей в знаменателе, при х→ -2 равен нулю.
Преобразуем данную
функцию, умножив числитель и знаменатель
дроби, находящейся под знаком предела,
на выражение
,
сопряженное знаменателю. Параллельно
разложим квадратный трехчлен в числителе
на линейные множители:
3х2 + 11х + 10 (3х + 5)(х + 2)( )
= =
(
)(
)
(3х + 5)(х + 2)( ) (3х +5)(х + 2)( )
= .
(х + 7) – (3 – х) 2(х + 2)
Сокращая теперь числитель и знаменатель последней дроби на общий множитель х + 2, получим новую функцию (3х + 5)( )
у
= ,
2
которая отличается от данной значением лишь в одной точке х = -2: данная функция в этой точке не определена, а новая определена и непрерывна как элементарная функция ([2], гл.5, § 3). Поскольку переопределение функции в одной точке не сказывается на значении предела и поскольку для функции, непрерывной в точке х0 , ее предел при х→х0 равен значению этой функции в точке х0 ([2], гл.6, §7), то
3x2
+ 11x + 10 (3х + 5)(
) (3
∙ (-2) + 5)(
lim =
lim = = -
.
x→-2 x→-2 2 2
б) И в этом примере начнем преобразования с умножения числителя и знаменателя дроби, стоящей под знаком предела, на выражение, сопряженное к знаменателю:
х(sin
5x + sin 6x) x(sin 5x + sin 6x)(
)
= =
(1 + x ∙ tg x) – (1 - x ∙ tg x)
x(sin 5x + sin 6x)( ) (sin 5x + sin 6x)( )
=
= =
2x ∙ tg x 2x ∙ tg x
sin 5x + sin 6x cos x
=
∙ ∙ (
).
sin x 2
Заметим, что пределы в нуле второго и третьего сомножителей как непрерывных в нуле функций равны их значениям в этой точке:
cos x
lim
= ½ ; lim (
)
= 2
x→0 2 x→0
Чтобы найти предел первого сомножителя, разделим его числитель и знаменатель на х:
sin 5x + sin 6x sin 5x sin 6x
+
sin 5x + sin 6x x x x
= =
sin x sin x sin x
x x
Предел sin x
lim = 1
x→0 x
есть
первый замечательный предел ([2], гл.6, §
6). Пределы
легко
сводятся
к нему. Например,
и после замены t = 5х :
sin 5x sin t
lim = lim = 1
x →0 5x x →0 t
sin 5x sin 6x
С ледовательно, lim = 5. Аналогично, lim = 6. Теперь с помощью теорем о пре-
x →0 x x →0 x
деле частного и суммы ([2], гл.6, § 5, теорема 2,4) вычисляем предел первого сомножителя:
sin 5x sin 6x
lim + lim
sin 5x + sin 6x x →0 x x →0 x 5 + 6
l im = = = 11
x →0 sin x sin x 1
lim
x →0 x
Воспользовавшись, наконец, теоремой о пределе произведения ([2], гл. 6, § 5, теорема 3), окончательно получаем: sin 5x + sin 6x cos x
lim ∙ ∙ ( ) = 11∙ ½ ∙ 2 = 11
x →0 sin x 2
в) Избавляясь от иррациональности в знаменателе (так же, как и в предыдущих двух примерах) и применяя формулу 1 – cos 2x = 2sin2x, будем иметь:
tg23x
tg23x
∙ (
)
lim = lim =
x →0 x →0 2 – (3 – cos 2x)
tg23x tg23x
=
lim (
)
= lim (
)
x →0 cos 2x – 1 x →0 - 2sin2x
Предел в нуле функции у = найдем, воспользовавшись непрерывностью этой элементарной функции в нуле:
lim
(
)
=
tg23x
Предел в нуде функции у = найдем, разделив предварительно числитель и зна-
-2sin2x
менатель дроби в правой части равенства на х2 и используя основные свойства предела :
tg23x
tg3x 2 sin
3x 2
lim lim
tg23x x2 x →0 x x →0 x cos 3x
l im = - ½ ∙ lim = - ½ ∙ = - ½ ∙ =
x →0 -2sin2x x →0 sin2x sin x 2 sin x 2
x2 lim lim
x →0 x x →0 x
sin 3x 3 2
lim ∙
x →0 3x cos 3x sin 3x 3 2 3 2
=
- ½ ∙ = - ½ ∙ lim ∙ lim = - ½ ∙ 1 ∙ = - 9/2
12 x →0 3x x →0 cos 3x cos 0
Теперь, применяя теорему о пределе произведения, получим:
tg23x tg23x
l
im
= lim ∙ lim (
)
=
x →0 x →0 -2 sin2 x x →0
г) Прежде всего преобразуем основание данной степенно-показательной функции:
х – 1 х + 3 – 3 – 1 (х + 3) – 4 4
= = =1-
х + 3 х + 3 х + 3 х + 3
4 х + 3 1 4 4
В
ведем
новую переменную t = -
. Тогда - = , х + 3 = - , х = -3 -
.
х + 3 4 t t t
Заметим, что предел функции t при х→+∞ равен нулю, то есть t→0 при х→+∞.
Следовательно,
В конце мы воспользовались теоремой о пределе произведения, следствием теоремы о пределе сложной функции ([2], гл.6, § 5), вторым замечательным пределом ([2], гл.6, §6) и непрерывностью в нуле функции у = (1 + t)9/2
д) Разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на х:
lg (x + 1)
lg (x + 1) x
=
sin 2x sin 2x
x
и рассмотрим пределы в нуле числителя и знаменателя получившейся большой дроби:
lg
(x + 1) 1
lim
= lim tg (x + 1) = lim lg (x + 1)1/
x = lg lim (x + 1)1/
x = lg e
x →0 x x →0 x x →0 x →0
и sin 2x 2sin 2x sin 2x
lim = lim = 2 ∙ lim = 2 ∙ 1 = 2.
x →0 x x →0 2x x →0 2x
Используя, наконец, теорему о пределе частного, получим:
lg (x + 1) lg (x + 1)
lim
x x →0 x lg e
lim = =
x →0 sin 2x sin 2x 2
x lim
x →0 x
е) Представим выражение под знаком предела в виде
ex – 1
cos 4x ex – 1 x
( e3x – e2x ) ∙ ctg 4x = (e2x ex – e2x) ∙ = e2x ∙ ∙ cos 4x = e2x ∙ ∙ cos 4x
sin 4x sin 4x sin 4x
x
Легко находим: lim e2x = e0 = 1; lim cos 4x = cos 0 = 1;
x →0 x →0
sin 4x 4sin 4x sin 4x
l im = lim = 4 ∙ lim = 4 ∙ 1 = 4
x →0 x x →0 4x x →0 4x
ех - 1
Д ля вычисления предела функции у = при x →0 введем новую переменную
х
t = ex – 1 . Тогда ех = t + 1, x = ln (1 + t) причем предел в нуле непрерывной функции t = ex – 1 равен значению функции в нуле: е0 – 1 = 1 – 1 = 0, то есть t→0 при x →0. Следовательно,
lim 1
ex – 1 t 1 x →0 1 1
l
im
= lim = lim
= = = = 1
x →0 x x →0 ln (1 + t) x →0 1/t ln (1 + t) lim ln (1 + t)1/ t ln lim (1 + t)1/ t ln e
x →0 x →0
Применяя теоремы о пределе произведения и частного, окончательно получаем:
ex
– 1
x
lim e2x ∙ ∙ cos 4x = 1∙ ¼ ∙ 1 = ¼
x →0 sin 4x
x