3.2. Исследование функций в экономике. Нахождение максимума прибыли

 

Рассмотрим задачу, в которой идентификация оптимума проводится только с использованием первой производной. В качестве примера рассмотрим задачу выбора оптимального производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью

.

1)      Находим производную этой функции

2)      Приравниваем производную нулю

Является ли объем выпуска, равный четырем оптимальным для фирмы? Чтобы ответить на этот вопрос, надо проанализировать характер изменения знака производной при переходе через точку экстремума.

3)      Анализируем характер изменения знака производной

При   и прибыль убывает.

При   и прибыль возрастает.

Следовательно, в точке экстремума  прибыль принимает минимальное значение, и таким образом этот объем производства не является оптимальным для фирмы.

4)      Принятие решения

Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Ответ на вопрос зависит от дополнительного исследования производственных мощностей фирмы. Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q=8)=p(q=0)=10), то оптимальным решением для фирмы будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и/или оборудования. Если же фирма способна производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции, то оптимальным решением для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.

Из этого простого примера видно, насколько важно исследование функций для принятия оптимальных решений, а также для других экономических задач.

 

3.3. Определение глобального экстремума

 

Необходимо максимизировать f(x) при ограничениях , где a и b – установленные границы изменения значений переменной х. Проверку наличия локального оптимума

необходимо проводить не только в стационарных точках, но и в граничных точках интервала.

Алгоритм определения глобального максимума (минимума):

Шаг 1. Приравнять  и найти все стационарные точки.

Шаг 2. Выбрать все стационарные точки, которые расположены в интервале [a, b]. Обозначим эти точки через  х₁, х₂, …, х_n. Проверку наличия локального оптимума следует проводить только на множестве указанных точек, дополненном точками a и b.

Шаг 3. Найти наибольшее (наименьшее) значение f(x)  из множества f(a), f(b), f(x₁), …, f(x_n). Это значение соответствует глобальному максимуму (минимуму).

Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-4; 4].

Решение. Найдем критические точки функции u, лежащие внутри отрезка [-4; 4], и вычислим ее значения в этих точках:  в точках х = -1, х = 3. Эти точки лежат внутри рассматриваемого отрезка и являются критическими.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:

u(-1) =40, u(3) = 8, u(-4) = -41, u(4) = 15.

Сравнивая все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка, заключаем: наибольшее значение функции u на отрезке [-4; 4] равно 40 и достигается ею во внутренней критической точке х = -1, а ее наименьшее значение равно –41 и достигается на левой границе отрезка х = -4.

Вместо перебора всех стационарных точек и соответствующих значений функции можно воспользоваться специальными процедурами, позволяющими найти глобальный оптимум с меньшими затратами времени, при условии, что функция обладает определенными свойствами.

Замечание. Для унимодальной функции локальный оптимум является глобальным.

В теории оптимизации выделяется важный класс унимодальных функций, а именно класс выпуклых и вогнутых функций.