
- •Некрасова м.Г. - Методы оптимизации Оглавление
- •Глава 1. Введение в методы оптимизации
- •Вопросы к главе 1
- •Глава 2. Основы теории оптимизации
- •2.1. Параметры плана
- •2.2. Целевая функция (план)
- •Вопросы к главе 2
- •Глава 3. Функция одной переменной
- •3.1. Определение функции одной переменной и её свойства
- •3.2. Исследование функций в экономике. Нахождение максимума прибыли
- •3.3. Определение глобального экстремума
- •3.4. Выпуклость, вогнутость функции
- •3.4. Критерий оптимальности
- •Замечание.
- •3.6. Идентификация оптимумов
- •Вопросы к главе 3
- •Глава 4. Одномерная оптимизация
- •4.1. Методы исключения интервалов
- •4.1.1. Метод сканирования
- •4.1.2. Метод деления отрезка пополам
- •4.1.2. Метод золотого сечения
- •4.1.2. Сравнительная характеристика методов исключения интервалов
- •4.2. Полиномиальная аппроксимация и методы точечного оценивания
- •4.2.1. Метод параболической аппроксимации
- •4.2.2. Метод Пауэлла
- •4.3. Сравнение методов одномерного поиска
- •Метод Пауэлла
- •Глава 5. Функции многих переменных
- •5.1. Функции многих переменных, их обозначение и область определения
- •5.2. Некоторые многомерные функции, используемые в экономике
- •5.3. Частные производные функции многих переменных
- •5.3. Экономический смысл частных производных
- •5.3. Частные производные высших порядков
- •5.6. Свойства функций нескольких переменных
- •5.7. Производная по направлению. Градиент. Линии уровня функции
- •5.8. Экстремум функции многих переменных
- •Вопросы к главе 5
- •Глава 6. Многомерная безусловная градиентная оптимизация
- •6.1. Концепция методов
- •6.2. Метод градиентного спуска
- •6.3. Метод наискорейшего спуска
- •Вопросы к главе 6
- •Глава 7. Критерии оптимальности в задачах с ограничениями
- •7.1. Задачи с ограничениями в виде равенств
- •7.2. Множители Лагранжа
- •7.3. Экономическая интерпретация множителей Лагранжа
- •7.4. Условия Куна - Таккера
- •7.4.1. Условия Куна – Таккера и задача Куна - Таккера
- •7.5. Теоремы Куна - Таккера
- •7.6. Условия существования седловой точки
- •Теорема 4. Необходимые условия оптимальности
- •Вопросы к главе 7
- •Глава 8. Модели динамического программирования
- •8.1. Предмет динамического программирования
- •8.2. Постановка задачи динамического программирования
- •8.3. Принцип оптимальности и математическое описание динамического процесса управления
- •8.4. Общая схема применения метода динамического программирования
- •8.5. Двумерная модель распределения ресурсов
- •8.6. Дискретная динамическая модель оптимального распределения ресурсов
- •2 Этап. Безусловная оптимизация.
- •8.7. Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования
- •8.8. Выбор оптимального маршрута перевозки грузов
- •2 Этап. Безусловная оптимизация.
- •8.9. Построение оптимальной последовательности операций в коммерческой деятельности
- •1 Этап. Условная оптимизация.
- •Вопросы к главе 8
- •Пример выполнения задачи 1
- •Пример выполнения задачи 4
- •Пример выполнения задачи 5
- •Расчетно-графическое задание 2
- •Пример выполнения задачи 1
- •Пример выполнения задачи 2
- •Пример выполнения задачи 3
- •Пример выполнения задачи 4
- •1 Этап. Условная оптимизация.
- •2 Этап. Безусловная оптимизация.
- •2 Этап. Безусловная оптимизация.
1 Этап. Условная оптимизация.
1-й шаг: k = 4. Предположим, что все средства в количестве u3 = 5 млн. р. отданы четвертому предприятию. В этом случае максимальный доход, как это видно из табл. 53, составит J4(U4)=8 тыс. р., следовательно, F4(c4)=J4(U4).
Таблица 53
с4 u4 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0 |
0 |
- |
- |
- |
- |
- |
1 |
- |
2 |
- |
- |
- |
- |
2 |
- |
- |
3 |
- |
- |
- |
3 |
- |
- |
- |
4 |
- |
- |
4 |
- |
- |
- |
- |
6,5 |
- |
5 |
- |
- |
- |
- |
- |
8 |
F4(c4) |
0 |
2 |
3 |
4 |
6.5 |
8 |
u*4 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
2-й шаг: k = 3. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между четвертым и третьим предприятиями. При этом соотношение Беллмана имеет вид
на основе которого составлена табл.54.
Таблица 54
c3 u3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0 |
0 |
2 |
3 |
4 |
6,5 |
8 |
1 |
- |
4 |
6 |
7 |
8 |
10,5 |
2 |
- |
- |
5 |
7 |
8 |
9 |
3 |
- |
- |
- |
5,5 |
7,5 |
8,5 |
4 |
- |
- |
- |
- |
6 |
8 |
5 |
- |
- |
- |
- |
- |
9 |
F3(c3) |
0 |
4 |
6 |
7 |
8 |
10,5 |
u*3 |
0 |
1 |
1 |
1, 2 |
1, 2 |
1 |
3-й шаг: k = 2. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между вторым и двумя другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:
на основе которого составлена табл. 55.
Таблица 55
c2 u2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0 |
0 |
4 |
6 |
7 |
8 |
10.5 |
1 |
- |
3 |
7 |
9 |
10 |
11 |
2 |
- |
- |
4.5 |
8.5 |
10.5 |
12.5 |
3 |
- |
- |
- |
5.5 |
9.5 |
11.5 |
4 |
- |
- |
- |
- |
6.5 |
10.5 |
5 |
- |
- |
- |
- |
- |
7.5 |
F2(c2) |
0 |
4 |
7 |
9 |
10.5 |
12.5 |
u*2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
2 |
4-й шаг: k = 1. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между первым и тремя другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:
на основе которого составлена табл. 56.
Таблица 56
c1 u1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0 |
0 |
4 |
7 |
9 |
10.5 |
12.5 |
1 |
- |
1.5 |
5.5 |
8.5 |
10.5 |
12 |
2 |
- |
- |
2 |
6 |
9 |
11 |
3 |
- |
- |
- |
3.5 |
7.5 |
10.5 |
4 |
- |
- |
- |
- |
5.5 |
9.5 |
5 |
- |
- |
- |
- |
- |
9 |
F1(c1) |
0 |
4 |
7 |
9 |
10.5 |
12.5 |
u*1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0, 1 |
0 |