Вопросы к главе 7

 

1.    Поясните трудности, которые возникают при использовании метода множителей Лагранжа для решения задач с неотрицательными переменными.

2.    Что такое седловая точка? Какую роль играет решение задачи о седловой точке в условной оптимизации?

3.    При выполнении каких условий существуют седловые точки в задачах нелинейного программирования?

4.    Укажите основные направления использования необходимых и достаточных условий оптимальности второго порядка.

5.    Напишите функцию Лагранжа.

 

Глава 8. Модели динамического программирования

 

Динамическое программирование – это не алгоритм. Речь идет скорее об общем принципе, допускающем приложения ко многим задачам оптимизации с ограничениями, линейными и нелинейными, с непрерывными или дискретными переменными, но обладающими некоторым свойством, называемым разложимостью.

Термин «динамическое программирование» по происхождению связан с тем, что этот метод применялся к оптимизации динамических систем, т.е. систем, меняющихся в ходе  времени, эволюция которых может управляться некоторыми переменными управления. Однако принцип динамического программирования носит более общий характер и может применяться к задачам, в которых время не участвует, например, к задачам целочисленной оптимизации.

Динамическое программирование связано с возможностью представления процесса управления в виде цепочки последова­тельных действий или шагов, развернутых во времени и веду­щих к цели. Таким образом, процесс управления можно разде­лить на части и представить его в виде динамической последо­вательности и интерпретировать в виде пошаговой программы, развернутой во времени. Это позволяет спланировать програм­му будущих действий. Поскольку вариантов возможных планов - программ множество, то, необходимо из них выбрать лучший, оптимальный по какому-либо критерию в соответствии с постав­ленной целью.

В динамическом программировании можно выделить следующие аспекты: теоретический (доказательство теорем существования, единственности, сходимости), прикладной (построение моделей для конкретных задач оптимизации) и вычислительный. Для нас решающим является второй и в некоторой степени третий аспект.

Класс задач, решаемых методами динамического программирования, чрезвычайно обширен. Эти задачи могут классифицироваться по содержанию, по характеру моделей и по типу применяемых вычислительных схем.

 

8.1. Предмет динамического программирования

 

Динамическое программирование представляет собой мате­матический аппарат, который подходит к решению некоторого класса задач путем их разложения на части, небольшие и менее сложные задачи. При этом отличительной особенностью явля­ется решение задач по этапам, через фиксированные интерва­лы, промежутки времени, что и определило появление термина «динамическое программирование». Следует заметить, что мето­ды динамического программирования успешно применяются и при решении задач, в которых фактор времени не учитывается. В целом математический аппарат можно представить как поша­говое или поэтапное программирование. Решение задач метода­ми динамического программирования проводится на основе сформулированного Р.Э. Беллманом принципа оптимальности: оптимальное поведение обладает тем свойством, что каким бы ни было первоначальное состояние системы и первоначальное решение, последующее решение должно определять оптималь­ное поведение относительно состояния, полученного в резуль­тате первоначального решения.

Из этого следует, что планирование каждого шага должно проводиться с учетом общей выгоды, получаемой по завершении всего процесса, что и позволяет оптимизировать конечный резуль­тат по выбранному критерию.

Таким образом, динамическое программирование в широком смысле представляет собой оптимальное управление процессом, посредством изменения управляемых параметров на каждом шаге, и, следовательно, воздействуя на ход процесса, изменяя на каждом шаге состояние системы.

В целом динамическое программирование представляет со­бой теорию стройную для восприятия и достаточно простую для применения в коммерческой деятельности при решении как ли­нейных, так и нелинейных задач.

Динамическое программирование (ДП) является одним из разделов оптимального программирования. Для него характер­ны специфические методы и приемы, применяемые к опера­циям, в которых процесс принятия решения разбит на этапы (шаги). Методами ДП решаются вариантные оптимизационные задачи с заданными критериями оптимальности, с определенны­ми связями между переменными и целевой функцией, выражен­ными системой уравнений или неравенств. При этом, как и в за­дачах, решаемых методами линейного программирования, огра­ничения могут быть даны в виде равенств или неравенств. Одна­ко если в задачах линейного программирования зависимости между критериальной функцией и переменными обязательно линейны, то в задачах ДП эти зависимости могут иметь еще и нелинейный характер. ДП можно использовать как для решения задач, связанных с динамикой процесса или системы, так и для статических задач, связанных, например, с распределением ре­сурсов. Это значительно расширяет область применения ДП для решения задач управления. А возможность упрощения процесса решения, которая достигается за счет ограничения области и количества, исследуемых при переходе к очередному этапу вариан­тов, увеличивает достоинства этого комплекса методов.

Вместе с тем ДП свойственны и недостатки. Прежде всего, в нем нет единого универсального метода решения. Практически каждая задача, решаемая этим методом, характеризуется свои­ми особенностями и требует проведения поиска наиболее приемлемой совокупности методов для ее решения. Кроме того, боль­шие объемы и трудоемкость решения многошаговых задач, име­ющих множество состояний, приводят к необходимости отбора задач малой размерности, либо использования сжатой информа­ции. Последнее достигается с помощью методов анализа вариан­тов и переработки списка состояний.

Для процессов с непрерывным временем ДП рассматривает­ся как предельный вариант дискретной схемы решения. Получа­емые при этом результаты практически совпадают с теми, кото­рые получаются методами максимума Л. С. Понтрягина или Га­мильтона — Якоби — Беллмана.

ДП применяется для решения задач, в которых поиск опти­мума возможен при поэтапном подходе, например:

      распределе­ние дефицитных капитальных вложений между новыми направ­лениями их использования;

      разработка правил управления спро­сом или запасами, устанавливающими момент пополнения за­паса и размер пополняющего заказа;

      разработка принципов календарного планирования производства и выравнивания за­нятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию;

      со­ставления календарных планов текущего и капитального ремон­тов оборудования и его замены;

      поиск кратчайших расстояний на транспортной сети;

      при распределении инвестиций по направлениям использования;

      разработки долгосрочных программ функционирования хозяйствующих субъектов;

      формирование последовательности раз­вития коммерческой операции и т.д.