
- •Некрасова м.Г. - Методы оптимизации Оглавление
- •Глава 1. Введение в методы оптимизации
- •Вопросы к главе 1
- •Глава 2. Основы теории оптимизации
- •2.1. Параметры плана
- •2.2. Целевая функция (план)
- •Вопросы к главе 2
- •Глава 3. Функция одной переменной
- •3.1. Определение функции одной переменной и её свойства
- •3.2. Исследование функций в экономике. Нахождение максимума прибыли
- •3.3. Определение глобального экстремума
- •3.4. Выпуклость, вогнутость функции
- •3.4. Критерий оптимальности
- •Замечание.
- •3.6. Идентификация оптимумов
- •Вопросы к главе 3
- •Глава 4. Одномерная оптимизация
- •4.1. Методы исключения интервалов
- •4.1.1. Метод сканирования
- •4.1.2. Метод деления отрезка пополам
- •4.1.2. Метод золотого сечения
- •4.1.2. Сравнительная характеристика методов исключения интервалов
- •4.2. Полиномиальная аппроксимация и методы точечного оценивания
- •4.2.1. Метод параболической аппроксимации
- •4.2.2. Метод Пауэлла
- •4.3. Сравнение методов одномерного поиска
- •Метод Пауэлла
- •Глава 5. Функции многих переменных
- •5.1. Функции многих переменных, их обозначение и область определения
- •5.2. Некоторые многомерные функции, используемые в экономике
- •5.3. Частные производные функции многих переменных
- •5.3. Экономический смысл частных производных
- •5.3. Частные производные высших порядков
- •5.6. Свойства функций нескольких переменных
- •5.7. Производная по направлению. Градиент. Линии уровня функции
- •5.8. Экстремум функции многих переменных
- •Вопросы к главе 5
- •Глава 6. Многомерная безусловная градиентная оптимизация
- •6.1. Концепция методов
- •6.2. Метод градиентного спуска
- •6.3. Метод наискорейшего спуска
- •Вопросы к главе 6
- •Глава 7. Критерии оптимальности в задачах с ограничениями
- •7.1. Задачи с ограничениями в виде равенств
- •7.2. Множители Лагранжа
- •7.3. Экономическая интерпретация множителей Лагранжа
- •7.4. Условия Куна - Таккера
- •7.4.1. Условия Куна – Таккера и задача Куна - Таккера
- •7.5. Теоремы Куна - Таккера
- •7.6. Условия существования седловой точки
- •Теорема 4. Необходимые условия оптимальности
- •Вопросы к главе 7
- •Глава 8. Модели динамического программирования
- •8.1. Предмет динамического программирования
- •8.2. Постановка задачи динамического программирования
- •8.3. Принцип оптимальности и математическое описание динамического процесса управления
- •8.4. Общая схема применения метода динамического программирования
- •8.5. Двумерная модель распределения ресурсов
- •8.6. Дискретная динамическая модель оптимального распределения ресурсов
- •2 Этап. Безусловная оптимизация.
- •8.7. Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования
- •8.8. Выбор оптимального маршрута перевозки грузов
- •2 Этап. Безусловная оптимизация.
- •8.9. Построение оптимальной последовательности операций в коммерческой деятельности
- •1 Этап. Условная оптимизация.
- •Вопросы к главе 8
- •Пример выполнения задачи 1
- •Пример выполнения задачи 4
- •Пример выполнения задачи 5
- •Расчетно-графическое задание 2
- •Пример выполнения задачи 1
- •Пример выполнения задачи 2
- •Пример выполнения задачи 3
- •Пример выполнения задачи 4
- •1 Этап. Условная оптимизация.
- •2 Этап. Безусловная оптимизация.
- •2 Этап. Безусловная оптимизация.
5.3. Частные производные функции многих переменных
Возрастание (убывание) функции показывает тенденцию изменения функции: функция возрастает (убывает), если с ростом переменной значения функции увеличиваются (уменьшаются). Количественное измерение этих изменений происходит путем вычислений приращений абсолютных, относительных, предельных.
Определение. Абсолютным приращением функции f(x, y) по переменной х называется разность:
Ясно, что если
,
то функция на этом промежутке возрастает
по х, если
,
то убывает.
Определение. Абсолютным приращением функции f(x, y) по переменной у называется разность:
Определение. Под приращением функции понимают разность:
где точки (х1, у1) и (х2, у2) из области определения функции.
Определение. Относительное приращение определяется как приращение в расчете на единицу изменения переменной х или переменной у.
Относительное изменение по переменной х рассчитывается как отношение:
по переменной у:
Пример 35. Пусть дана линейная функция z=f(x, y)= - 2x – 2y + 20.
Рассчитаем прирост функции по х при переходе из точки (2; 1) в точку (4; 1), т. е. в случае, когда приращение по х равно 2:
Итак, приращение функции равно –4, т. е. функция х на интервале изменения переменной х(2, 4) убывает.
Относительное приращение равно:
Пример 36. Пусть дана функция: z=f(x, y)=2x2y+4y2.
Прирост функции в точке (2, 3) по переменной у при у=0,5 составляет:
т. е. по переменной у функция возрастает.
Относительное приращение равно:
Рассмотрим прирост функции по переменной у в точке (2, 4) при у=0,5:
Таким образом, можно заметить, что величина приращения разная для разных у, хотя переменная х и у одинаковы.
По аналогии с функцией одной переменной определяется непрерывность функции двух переменных.
Определение. Функция f(x, y) называется непрерывной в точке (х, у), если приращение функции f стремится к нулю при х0 и у0, т. е., если выполняется условие:
.
Для функций многих переменных, как и в случае функции одной переменной, изучаются предельные значения относительных приращений по отдельным переменным. Так, по переменной х рассматривается:
или
при
х0.
Определение. Если существует предел отношения при х0, то он называется частной производной первого порядка функции f(x, y) по х.
Частная производная по х (у) показывает предельное приращение функции в данной точке (х, у) при фиксированном у (х).
Анализ предельных изменений функций имеет широкое применение в экономических исследованиях. Например, равенства предельных доходов и предельных затрат, равенства
удельных предельных полезностей по товарам являются достаточными условиями эффективности принимаемых решений и др.
Функцию u=f(x1, …, хn) можно дифференцировать по каждому из ее аргументов, считая при этом все остальные аргументы постоянными.
Рассмотрим еще одно определение частной производной.
Определение.
Производная от функции u=f(x1,
…, хn) по х1,
взятая в предположении, что все остальные
аргументы x2,
…, хn являются
постоянными, называется частной
производной от u
по x1
и обозначается
или
.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные от функции u по каждому из остальных ее аргументов.
Частные производные функции многих переменных находятся по известным правилам дифференцирования функции одной независимой переменной.
Пример 37.
Найти частные производные от функции
Решение. Считая
z функцией только
одного аргумента х, находим
Аналогично, считая z
функцией только у, получим
Пример 38. Найти частные производные от функции u(x1, x2, x3)=sin2(3x1+2x2-x3).
Решение. Считая х2 и х3 постоянными, рассмотрим функцию u как функцию одной переменной х1:
Аналогично находим производные по х2 и по х3:
Пример 39.
Найти частные производные функции
Решение.