
- •Методичні вказівки
- •8.050107 „Економіка підприємства”
- •1. Загальні положення
- •2. Сутність економіко-математичного моделювання
- •3. Факторний аналіз показників виробничо-господарської діяльності підприємства
- •4. Обґрунтування та вибір показника (критерію) оцінки ефективності виробничо-господарської діяльності підприємства
- •5. Встановлення кореляційних залежностей між показниками виробничо-господарської діяльності підприємства
- •5.1. Побудова рівняння лінійної функції
- •5.2. Побудова рівняння квадратичної функції
- •5.3. Побудова рівняння гіперболічної функції
- •5.4. Побудова рівняння показникової функції
- •5.5. Знаходження параметрів множинної лінійної залежності
- •5.6. Знаходження параметрів множинної квадратичної залежності
- •5.7. Розрахунок тісноти зв’язку
- •6. Виробничі функції
- •Спеціальні виробничі функції
- •7. Методи реалізації економіко-математичних моделей
- •8. Приклади реалізації оптимізаційних задач
- •9. Список використаних джерел
5.4. Побудова рівняння показникової функції
Вирівнювання
дослідних даних за показниковою функцією
здійснюється за допомогою логарифмування
і подальшою заміною
Тоді отримаємо лінійну залежність
параметри
якої
знаходимо за розглянутим вище методом
найменших квадратів.
Наприклад:
Статистичні дані витрат на зберігання продукції, що потребує охолодження В і температури зберігання Т наведено у вигляді таблиці.
Т |
-4,2 |
-3,4 |
-1,5 |
-0,6 |
0,2 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,1 |
2,3 |
В |
1,2 |
1,5 |
2,1 |
3,2 |
3,6 |
4,4 |
5,1 |
5,5 |
6,2 |
7,3 |
Припускаючи,
що між змінними В
i
Т
існує показникова залежність, знайти
емпіричну формулу
за методом найменших квадратів.
Для
спрощення обчислень позначимо витрати
на зберігання продукції В
через
змінну у,
а температуру зберігання Т
через змінну х.
Зробимо заміну
та складемо розрахункову таблицю.
Аналогічно
до методики побудови рівняння прямої,
знайдемо коефіцієнти
і
X |
Y |
Y1=lgy |
XУ1 |
X2 |
(Y) |
-4,2 |
1,2 |
0,079181 |
-0,33256 |
17,64 |
1,161586 |
-3,4 |
1,5 |
0,176091 |
-0,59871 |
11,56 |
1,435501 |
-1,5 |
2,1 |
0,322219 |
-0,48333 |
2,25 |
2,373502 |
-0,6 |
3,2 |
0,50515 |
-0,30309 |
0,36 |
3,011866 |
0,2 |
3,6 |
0,556303 |
0,111261 |
0,04 |
3,722097 |
1,1 |
4,4 |
0,643453 |
0,707798 |
1,21 |
4,723171 |
1,4 |
5,1 |
0,70757 |
0,990598 |
1,96 |
5,11347 |
1,8 |
5,5 |
0,740363 |
1,332653 |
3,24 |
5,684492 |
2,1 |
6,2 |
0,792392 |
1,664023 |
4,41 |
6,15423 |
2,3 |
7,3 |
0,863323 |
1,985643 |
5,29 |
6,48876 |
-0,8 |
40,1 |
5,386044 |
5,074284 |
47,96 |
39,86867 |
Повертаємося
до заміни
і знаходимо коефіцієнти
Таким чином, шукане рівняння набуде вигляду
За допомогою знайденого рівняння заповнимо останній стовпець таблиці. Як видно із значення суми, рівняння знайдено правильно. На рисунку 5.4 представлено кореляційне поле, побудоване за статистичними даними, та рівняння показникової функції, побудоване за допомогою знайденого рівняння вибіркової лінії регресії.
Рис. 5.4. Графік залежності витрат на зберігання продукції від температури зберігання
5.5. Знаходження параметрів множинної лінійної залежності
У моделюванні економічних процесів найбільшого розповсюдження набула залежність
.
Досить поширене використання цієї залежності пояснюється відносною простотою як її побудови, так і інтерпритації параметрів. Застосуємо до обчислення параметрів залежності метод найменших квадратів.
Після елементарних перетворень одержуємо систему рівнянь, з якої знаходимо параметри рівняння
(5.5)
Аналогічним чином, можна побудувати трьохфакторне рівняння
.
Після перетворень, система для визначення параметрів трьохфакторного рівняння набуде вигляду
(5.6)
Наприклад:
Розрахуємо параметри трьохфакторної лінійної функції, що встановлює залежність виробництва валової продукції у (млн. грн.), підприємства від суми основних х1 і оборотних х2 виробничих фондів (млн. грн.) і середньорічної чисельності працюючих х3 (чол.). Вихідні дані для побудови виробничої функції наведені у таблиці
Підставимо значення сум у систему (5.6) і одержимо систему з чотирьох рівнянь і чотирьох невідомих.
Таблиця
№ |
х1 |
х2 |
х3 |
у |
|
|
|
1 |
10 |
3 |
250 |
4,1 |
100 |
9 |
62500 |
2 |
12 |
5 |
280 |
5,6 |
144 |
25 |
78400 |
3 |
7 |
2 |
240 |
3,1 |
49 |
4 |
57600 |
4 |
13 |
6 |
290 |
6,4 |
169 |
36 |
84100 |
5 |
18 |
7 |
510 |
8,6 |
324 |
49 |
260100 |
6 |
11 |
5 |
270 |
5,5 |
121 |
25 |
72900 |
7 |
23 |
10 |
540 |
11,0 |
529 |
100 |
291600 |
8 |
16 |
8 |
300 |
7,9 |
256 |
64 |
90000 |
9 |
7 |
3 |
250 |
3,8 |
49 |
9 |
62500 |
10 |
17 |
7 |
510 |
8,5 |
289 |
49 |
260100 |
11 |
10 |
3 |
250 |
4,1 |
100 |
9 |
62500 |
∑ |
134 |
56 |
3440 |
64,5 |
2030 |
370 |
1319800 |
Продовження табл.
№ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
16,81 |
30 |
2500 |
750 |
41,0 |
12,3 |
1025 |
2 |
31,36 |
60 |
3360 |
1400 |
67,2 |
28,0 |
1568 |
3 |
9,61 |
14 |
1680 |
480 |
21,7 |
6,2 |
744 |
4 |
40,96 |
78 |
3770 |
1740 |
83,2 |
38,4 |
1856 |
5 |
73,96 |
126 |
9180 |
3570 |
154,8 |
60,2 |
4386 |
6 |
30,25 |
55 |
2970 |
1350 |
60,5 |
27,5 |
1485 |
7 |
121,00 |
230 |
12420 |
5400 |
253,0 |
110,0 |
5940 |
8 |
62,41 |
128 |
4800 |
2400 |
126,4 |
63,2 |
2370 |
9 |
14,44 |
21 |
1750 |
750 |
26,6 |
11,4 |
950 |
10 |
72,25 |
119 |
8670 |
3570 |
144,5 |
59,5 |
4335 |
∑ |
473,05 |
861 |
51100 |
21410 |
978,9 |
416,7 |
24659 |
Знайдемо розв’язок системи (наприклад за методом Гаусса)
Звідси, лінійна функція, що відображає зв’язок виробництва валової продукції від суми основних і оборотних фондів та числа працюючих, набуде вигляду
.
Для перевірки точності обрахунків порівняємо емпіричні і теоретичні значення функції
|
4,1 |
5,6 |
3,1 |
6,4 |
8,6 |
5,5 |
11,0 |
7,9 |
3,8 |
8,5 |
|
|
4,073 |
5,624 |
3,140 |
6,373 |
8,587 |
5,480 |
11,018 |
7,912 |
3,798 |
8,495 |
64,500 |
Як видно, сумарні значення емпіричних і теоретичних частот співпадають.