Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МВ наук.-дослід.(2,3 розділ).doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
1.24 Mб
Скачать

5.4. Побудова рівняння показникової функції

Вирівнювання дослідних даних за показниковою функцією здійснюється за допомогою логарифмування і подальшою заміною Тоді отримаємо лінійну залежність параметри якої знаходимо за розглянутим вище методом найменших квадратів.

Наприклад:

Статистичні дані витрат на зберігання продукції, що потребує охолодження В і температури зберігання Т наведено у вигляді таблиці.

Т

-4,2

-3,4

-1,5

-0,6

0,2

1,1

1,4

1,8

2,1

2,3

В

1,2

1,5

2,1

3,2

3,6

4,4

5,1

5,5

6,2

7,3

Припускаючи, що між змінними В i Т існує показникова залежність, знайти емпіричну формулу за методом найменших квадратів.

Для спрощення обчислень позначимо витрати на зберігання продукції В через змінну у, а температуру зберігання Т через змінну х. Зробимо заміну та складемо розрахункову таблицю.

Аналогічно до методики побудови рівняння прямої, знайдемо коефіцієнти і

X

Y

Y1=lgy

1

X2

(Y)

-4,2

1,2

0,079181

-0,33256

17,64

1,161586

-3,4

1,5

0,176091

-0,59871

11,56

1,435501

-1,5

2,1

0,322219

-0,48333

2,25

2,373502

-0,6

3,2

0,50515

-0,30309

0,36

3,011866

0,2

3,6

0,556303

0,111261

0,04

3,722097

1,1

4,4

0,643453

0,707798

1,21

4,723171

1,4

5,1

0,70757

0,990598

1,96

5,11347

1,8

5,5

0,740363

1,332653

3,24

5,684492

2,1

6,2

0,792392

1,664023

4,41

6,15423

2,3

7,3

0,863323

1,985643

5,29

6,48876

-0,8

40,1

5,386044

5,074284

47,96

39,86867

Повертаємося до заміни і знаходимо коефіцієнти

Таким чином, шукане рівняння набуде вигляду

За допомогою знайденого рівняння заповнимо останній стовпець таблиці. Як видно із значення суми, рівняння знайдено правильно. На рисунку 5.4 представлено кореляційне поле, побудоване за статистичними даними, та рівняння показникової функції, побудоване за допомогою знайденого рівняння вибіркової лінії регресії.

Рис. 5.4. Графік залежності витрат на зберігання продукції від температури зберігання

5.5. Знаходження параметрів множинної лінійної залежності

У моделюванні економічних процесів найбільшого розповсюдження набула залежність

.

Досить поширене використання цієї залежності пояснюється відносною простотою як її побудови, так і інтерпритації параметрів. Застосуємо до обчислення параметрів залежності метод найменших квадратів.

Після елементарних перетворень одержуємо систему рівнянь, з якої знаходимо параметри рівняння

(5.5)

Аналогічним чином, можна побудувати трьохфакторне рівняння

.

Після перетворень, система для визначення параметрів трьохфакторного рівняння набуде вигляду

(5.6)

Наприклад:

Розрахуємо параметри трьохфакторної лінійної функції, що встановлює залежність виробництва валової продукції у (млн. грн.), підприємства від суми основних х1 і оборотних х2 виробничих фондів (млн. грн.) і середньорічної чисельності працюючих х3 (чол.). Вихідні дані для побудови виробничої функції наведені у таблиці

Підставимо значення сум у систему (5.6) і одержимо систему з чотирьох рівнянь і чотирьох невідомих.

Таблиця

х1

х2

х3

у

1

10

3

250

4,1

100

9

62500

2

12

5

280

5,6

144

25

78400

3

7

2

240

3,1

49

4

57600

4

13

6

290

6,4

169

36

84100

5

18

7

510

8,6

324

49

260100

6

11

5

270

5,5

121

25

72900

7

23

10

540

11,0

529

100

291600

8

16

8

300

7,9

256

64

90000

9

7

3

250

3,8

49

9

62500

10

17

7

510

8,5

289

49

260100

11

10

3

250

4,1

100

9

62500

134

56

3440

64,5

2030

370

1319800

Продовження табл.

1

16,81

30

2500

750

41,0

12,3

1025

2

31,36

60

3360

1400

67,2

28,0

1568

3

9,61

14

1680

480

21,7

6,2

744

4

40,96

78

3770

1740

83,2

38,4

1856

5

73,96

126

9180

3570

154,8

60,2

4386

6

30,25

55

2970

1350

60,5

27,5

1485

7

121,00

230

12420

5400

253,0

110,0

5940

8

62,41

128

4800

2400

126,4

63,2

2370

9

14,44

21

1750

750

26,6

11,4

950

10

72,25

119

8670

3570

144,5

59,5

4335

473,05

861

51100

21410

978,9

416,7

24659

Знайдемо розв’язок системи (наприклад за методом Гаусса)

Звідси, лінійна функція, що відображає зв’язок виробництва валової продукції від суми основних і оборотних фондів та числа працюючих, набуде вигляду

.

Для перевірки точності обрахунків порівняємо емпіричні і теоретичні значення функції

4,1

5,6

3,1

6,4

8,6

5,5

11,0

7,9

3,8

8,5

64,5

4,073

5,624

3,140

6,373

8,587

5,480

11,018

7,912

3,798

8,495

64,500

Як видно, сумарні значення емпіричних і теоретичних частот співпадають.