5.2. Побудова рівняння квадратичної функції

У випадку квадратичної функції за формулою (5.1) знаходимо мінімум суми

,

як функції трьох змінних a, b, c, при яких частинні похідні її повинні дорівнювати нулю

Знаходимо частинні похідні функції . Прирівнюючи кожну з похідних до нуля отримуємо систему лінійних відносно a, b, c рівнянь

(5.3)

Наприклад:

Статистичні дані витрат В підприємства і вкладень М у модернізацію обладнання наведено у вигляді таблиці.

М	3,5	4,1	4,5	4,2	5,5	5,7	6,3	7,5	8,0	8,0
В	13,0	8,5	6,5	5,0	3,3	2,9	2,9	5,2	7,0	9,1

Припускаючи, що між змінними В i М існує квадратична залежність, знайти емпіричну формулу за методом найменших квадратів.

Для спрощення обчислень позначимо витрати В через змінну у, а вкладення в модернізацію М через змінну х та складемо розрахункову таблицю.

х	Y	х2	х3	х4	XY	х2 у	(Y)
3,5	13	12,25	42,875	150,0625	45,5	159,25	12,04
4,1	8,5	16,81	68,921	282,5761	34,85	142,885	8,07
4,5	6,5	20,25	91,125	410,0625	29,25	131,625	6,01
4,2	5	17,64	74,088	311,1696	21	88,2	7,52
5,5	3,3	30,25	166,375	915,0625	18,15	99,825	2,93
5,7	2,9	32,49	185,193	1055,6	16,53	94,221	2,66
6,3	2,9	39,69	250,047	1575,296	18,27	115,101	2,56
7,5	5,2	56,25	421,875	3164,063	39	292,5	5,54
8	7	64	512	4096	56	448	8,03
8	9,1	64	512	4096	72,8	582,4	8,03
57,3	63,4	353,63	2324,499	16055,89	351,35	2154,007	63,4

Використовуючи формулу (5.3) складемо систему для знаходження коефіцієнтів

Знайдемо розв’язок системи рівнянь за формулами Крамера

Тоді шукане рівняння набуде вигляду

За допомогою знайденого рівняння заповнимо останній стовпець розрахункової таблиці. Як видно із значення суми, рівняння знайдено правильно. На рисунку 5.2 представлено кореляційне поле, побудоване за статистичними даними, та рівняння параболи, побудоване за допомогою знайденого рівняння квадратичної лінії регресії.

Рис. 2. Графік залежності витрат підприємства від вкладень у модернізацію