7. Методи реалізації економіко-математичних моделей

Математична дисципліна, що займається вивченням екстремальних (максимальних або мінімальних) задач управління, планування і розробкою методів їх вирішення, одержала назву математичного програмування.

В залежності від виду цільової функції і системи обмежень, математичне програмування поділяється на лінійне і нелінійне.

Найбільш простим і наочним методом лінійного програмування є графічний метод. Він застосовується для розв’язування задач лінійного програмування з двома змінними, заданими у неканонічній формі, і багатьма змінними у канонічній формі при умові, що вони вміщують не більше двох вільних змінних. З геометричної точки зору, в задачах лінійного програмування відшукується така кутова точка або набір точок із припустимої множини розв’язків, в якій досягається сама верхня (нижня) лінія рівня, розміщена дальше (ближче) інших у напрямку більш бистрого росту.

Симплексний метод є універсальним, тому що дозволяє розв’язати будь-яку задачу лінійного програмування, яка записана у канонічному вигляді. Ідея симплексного методу (методу послідовного поліпшення плану) полягає у тому, що починаючи з деякого опорного розв’язку здійснюється послідовно-спрямоване переміщення за опорними розв’язками задачі до оптимального. Значення цільової функції при такому переміщенні для задач на максимум не спадає. Оскільки число опорних розв’язків скінчене, то через деяку кількість кроків одержимо оптимальний опорний розв’язок.

Однією із розповсюджених задач лінійного програмування є транспортна задача. Ії мета – розробка найбільш раціональних шляхів і способів транспортування товарів, усунення найбільш віддалених, зустрічних, повторних перевезень. Все це скорочує час просування товарів, зменшує витрати підприємств, фірм, що пов’язані із здійсненням процесів постачання сировини, матеріалів, палива, обладнання тощо.

У задачах лінійного програмування можливі випадки, коли параметри управління можуть приймати лише цілі дискретні значення. При розв’язанні подібних задач використовується цілочислове програмування (графічний метод, метод Гоморі).

У деяких випадках вихідні параметри задачі можуть змінюватися у певних межах, тоді для їх розв’язання застосовується параметричне програмування.

Для задач нелінійного програмування, на відміну від лінійних задач, немає єдиного способу розв’язку. В залежності від виду цільової функції і системи обмежень, розроблено спеціальні методи розв’язування, до яких відносяться метод множників Лагранжа, квадратичне і опукле програмування, градієнтні методи, наближені методи розв’язків, графічний метод.

Динамічне програмування – один із розділів оптимального програмування, у якому процес прийняття рішення і управління може бути розбитий на окремі етапи (кроки). Динамічне програмування дозволяє звести одну складну задачу із багатьма змінними до багатьох задач з малою кількістю змінних, що в значній мірі скорочує обсяг обчислень і прискорює процес прийняття управлінського рішення.

На відміну від лінійного програмування, в якому симплексний метод є універсальним методом розв’язання, у динамічному програмуванні такого універсального методу не існує. Одним з основних методів динамічного програмування є метод рекурентних співвідношень, який ґрунтується на використанні принципів оптимальності, розроблений американським математиком Р. Беллманом. Принцип полягає у тому, що якими б не були початкові умови на будь-якому етапі і управління, що обране на цьому етапі, наступні управління повинні обиратися оптимальними відносно стану, до якого прийде система у кінці даного етапу. Використання даного принципу гарантує, що управління, яке обране на будь-якому етапі, не локально краще, а краще з точки зору процесу в цілому.

У деяких задачах динамічного програмування процес управління розбивається на кроки. При розподілі на декілька років ресурсів діяльності підприємства кроком доцільно вважати часовий період; при розподілі коштів між підприємствами – номер наступного підприємства. Виходячи з умов кожної конкретної задачі, довжину етапу обирають таким чином, щоб одержувати просту задачу оптимізації і забезпечити необхідну точність обчислень на кожному етапі.

Сучасне сітьове планування починається з розбиття програми робіт на операції. Визначаються оцінки тривалості операцій, і будується сітьова модель (графік). Побудова сітьової моделі дозволяє проаналізувати всі операції і внести покращення у структуру моделі до початку її реалізації. Будується календарний графік, що визначає початок і кінець кожної операції, а також взаємозв’язки з іншими операціями графіку. Календарний графік виявляє критичні операції, яким необхідно приділити особливу увагу, щоб закінчити всі роботи у директивний термін. Що стосується некритичних операцій, то календарний план дозволяє визначити резерви часу, які можна вигідно використати при затримці виконання робіт або ефективному застосуванні як трудових, так і фінансових результатів.

В економіці іноді стикаються із ситуацією, коли при наявності багатьох учасників, ефективність рішення одного з них залежить від того, яке рішення прийняли інші учасники. Наприклад, дохід підприємства від продажу виробів залежить не тільки від встановленої на нього ціни, але й від кількості куплених покупцем виробів. Або при виборі сортаменту товарів, що випускаються підприємством, необхідно враховувати, який сортамент товарів випускають інші підприємства.

Всі ситуації, коли ефективність дії одного з учасників залежить від дії інших, можна розбити на два типи: інтереси учасників співпадають, і вони можуть домовитися про спільні дії; інтереси учасників не співпадають. У цьому випадку може бути невигідним повідомити інших учасників про свої рішення, тому що хтось з них може скористатися інформацією про чужі рішення і одержати більший виграш за рахунок інших учасників. Ситуації такого типу можна назвати конфліктними. Побудовою математичної моделі конфліктних ситуацій і розробкою методів розв’язку, що виникають у таких ситуаціях, займається теорія ігор.

Часто приходиться стикатися з такими ситуаціями: черга покупців; колона автомобілів, яких зупиняють світлофори; верстати, що виходять з ладу і чекають ремонтів тощо. Очікування, що виникає у цих випадках, є наслідком імовірнісного характеру виникнення потреб у обслуговуванні і розробці показників систем обслуговування, які називають системами масового обслуговування.

Мета вивчення систем масового обслуговування полягає у тому, щоб взяти під контроль деякі характеристики системи, встановити залежність між числом одиниць, що обслуговується, і якістю обслуговування. Якість обслуговування тим вища, чим більше число одиниць, що обслуговується.

В економіці системи масового обслуговування застосовуються при надходженні сировини, матеріалів, комплектуючих виробів на склад і видачі їх з складу; обробці широкої номенклатури деталей на одному й тому ж обладнанні; організації наладки і ремонту обладнання; визначенні оптимальної чисельності відділів і служб, що обслуговують підприємство, тощо.