2.5 Правило Верещагина

Определение угловых и линейных перемещений несколько упрощается благодаря применению графоаналитического приема для вычисления интеграла (8.15) вида _(а)ò^(b)(M_F×М₁)dz где а и b — преде­лы интегрирования - абсциссы пограничных сечений рассмат­риваемого участка. Подынтегральное выражение можно тракто­вать как произведение ординат эпюры изгибающего момента M_F от действительной нагрузки (грузовой эпюры) на ординаты эпю­ры момента М₁ от единичной нагрузки (единичной эпюры), по­этому этот прием называют способом перемножения эпюр. Способ предложен в 1925 г. студентом Московского инсти­тута инженеров железнодорожного транспорта А. К. Верещагиным, поэтому обычно называется правилом Верещагина. Андрей Константинович Верещагин (1896 -1959) - советский ученый и изобретатель. Его имя известно не только в связи с наглядным способом вычисле­ния интеграла Мора. Он внес большой вклад в развитие военной техники и считается основоположником отечественной школы минной электротехники.

Сущность способа Верещагина становится понятной, если доказать, что результат перемножения двух эпюр, из которых одна линей­на, а другая произвольна, равен произведению площади эпюры произвольного очертания на расположенную под ее центром тя­жести ординату линейной эпюры.

Пусть грузовая эпюра имеет произвольное очертание (нели­нейное), а единичная - (по определению) линейна (рисунок 2.12) и подчиняется уравнению М₁ = z tg a, где a - угол наклона эпюры к оси абсцисс.

Подставив это уравнение в подынтегральное выражение, полу­чим

_(а)ò^(b)(M_{F ×}М₁)dz = _(а)ò^(b)(M_{F ×} z tg a)dz = (tg a) _(а)ò^(b)M_{F ×} z dz .

Новое подынтегральное выражение - ста­тический момент элементарной площади dS = M_Fdz грузовой эпю­ры относительно оси ординат. Тогда интеграл - статический момент площади всей грузовой эпюры:

S_y = _(а)ò^(b)M_{F ×} z dz..

Статический момент S_y сечения (площади фигуры S) равен ее произведению на координату центра тяжести z_С: S_y = S × z_С . Следовательно:

_(а)ò^(b)(M_{F ×}М₁)dz = S_y × tg a = S × z_{С ×} tg a .

.

Y dz С dS S 0 Z Y zC , a yC 0 Z , a b Рисунок 2.12 - Правило Верещагина

Так как произведение z_{С ×} tg a характеризует ординату у_С, единичной эпюры, расположенную под центром тяжести грузовой z_{С ×} tg a = у_С, то окон­чательно интеграл произведения грузового и единичного моментов равен:

_(а)ò^(b)(M_{F ×}М₁)dz = S × у_С.

Левая часть равенства отличается от интеграла Мора отсутствием жесткости сечения балки (EJ_X). Для определения перемещений результат перемножения эпюр следует поделить на (EJ_X). Тогда из (8.15) получим математическое выраже­ние определения деформации Δ по правилу Верещагина:

Δ = Σ S×у_С/(EJ_X). (2.16)

Формула справедлива для любой балки постоянного сече­ния благодаря тому, что, по крайней мере, одна из двух эпюр - единичная и всегда очерчивается прямыми.

При использовании правила Верещагина следует руководство­ваться следующими рекомендациями:

1 результат перемножения эпюр положителен, если грузовая эпюра и ордината у_С под ее центром тяжести на единичной эпюре расположе­ны по одну сторону от оси балки (рисунки 2.12, 2.13 а - г), и отрицателен, если значение площади S криволинейной грузовой эпюры и ординаты у_С линейной единичной эпюры имеют разные знаки;.

2. ординату у_С необходимо брать обязательно с линейной эпюры, причем

линейность понимают в строго математическом смысле: эпюра должна монотонно изменяться по линейному закону (эпюра, состоящая из прямолинейных отрезков с разными угловыми коэффициентами является ломаной, и ее рассматривают как нелинейную);

3 если одна из эпюр криволинейная, а другая ломаная, после­днюю разбивают на участки, в пределах которых она линейна (рисунок 2.13 а);

4 если обе эпюры линейны, то принципиально безразлично, у какой из них брать площадь S и у какой — ординату у_С (рисунок 2.13, б).

/

, a C б уС C C , уС , уС уС C C C C , в уС уС г уС C , уС д C C C , уС ж C C е уС уС уС , уС Рисунок 2.13 - Грузовые и единичные эпюры

5 при перемножении линейных трапециевидных эпюр нет не­обходимости находить положение центра тяжести какой-либо из них. Удобнее разбить одну из эпюр на два треугольника и умно­жить площадь каждой из них на ординату под ее центром тяжести с другой эпюры (рисунок 2.13 в). Результат такого перемножения при­веден в верхней строке таблицы 8.1 (аналогично поступают и в частном случае, когда одна или обе линейных эпюры разнозначны (рисунок 2.13 г). Если какую-либо из них представить в виде двух треугольников CAB и ABD, расположенных по разные стороны от оси, то добавленные при этом треугольники СЕВ и AED на результат не влияют, поскольку их ординаты равны между собой и противополож­ны по знаку).

6 если грузовая эпюра представляет собой симметричную квад­ратную параболу (от равномерно распределенной нагрузки ин­тенсивностью q, описываемую уравнением M(z) = (q L/2) z - qz²/2, то ее площадь S равна:

,

что составляет ²/з площади описанного прямоугольника (рисунок 2.13 д):

. (2.17)

Если эпюра представляет собой параболу, описываемую уравне­нием

M(z) = qz²/2, то ее площадь составляет ^]/₃ площади описанного прямоугольника (рисунок 8.13 е):

.

Абсцисса центра тяжести эпюры составляет:

7. Если очертание грузовой эпюры имеет вид параболической трапеции (рисунок 2.13 ж), то эпюру разбивают на два треугольника и параболический сегмент, площадь которого S₂ всегда равна qL³/12, а положение центра тяжести соответствует середине рассматрива­емого участка.

Результат перемножения грузовой эпюры имеющей вид параболической трапеции (рисунок 2.14 а),с ординатой прямоли­нейной трапециевидной эпюры по методу Симпсона имеет вид:

^Lò₀ (M_{F ×}М₁)dz = [M_{FЛ ×} М_1Л + M_{FПР ×} М_1ПР + 2 M_FCР (M_1ПР + М_1Л)]/6 .

при­чем он охватывает случай, когда парабола обращена выпуклостью в другую сторону, и частные случаи, представленные на рисунках 2.13 д, е.

Результат «перемножения» площади прямоли­нейной трапециевидной эпюры с ординатой прямоли­нейной трапециевидной эпюры имеет вид:

^Lò₀ (M_{F ×}М₁)dz = (2M_{FЛ ×} М_1Л + 2M_{FПР ×} М_1ПР + M_{FЛ ×} М_1ПР+ M_{FПР ×} М_1Л)/6 .

Томас Симпсон (T.Simpson, 1710—1761) — английский математик. Был ткачом шелковых тканей и математику изучил самостоятельно. Основные труды касаются геометрии, тригонометрии и математического анализа. В 1743 г. вывел формулу приближенного интегрирования (формулу парабол), названную впос­ледствии его именем.

Интеграл «перемножения» двух трапециевидных эпюр может быть вычислен по формуле Симпсона, единой для случаев, представленных в рисунке 2.14:

^Lò₀ (M_{F ×}М₁)dz = (M_{FЛ ×} М_1Л + 4M_{FСР ×} М_1СР + 4M_{FПР ×} М_1ПР)/6 .

где М_СР — среднее значение эпюры.

.

MFЛ MFCР MFПР MFЛ MFПР M1ПР М1Л М1Л M1ПР MFCР MFЛ MFПР Рисунок 2.14 - «Перемножение» грузовых и единичных эпюр по методу Симпсона