1.2 Последовательность решения статически определимых балок

Расчет статически определимых шарнирно опертых балок производится в следующем порядке:

1) Расставляются реакции опор в соответствии с нашими представлениями (исходя из опыта).

2) Записывается система уравнений статического равновесия системы

Σ F_Х = 0; Σ F_У = 0; Σ F_Z = 0; Σ М _У = 0; Σ М _Z = 0,

совместно решая которые находят численные значения реакций опор.

Сумма изгибающих моментов может определяться относительно любой точки пространства (для трехмерной системы), но, в целях облегчения решения задачи, лучше всего выбрать точку, в которой находится одна из неизвестных реакций опор. Так как в большинстве своем в курсе сопротивления материалов решаются задачи с двухосными а чаще с одноосными плоскими расчетными схемами, количество уравнений статического равновесия сокращается для двухосных систем до трех, а для одноосных (плоских) – до двух. В поперечных сечениях балок при одноосной плоской задаче действуют только поперечные усилия Q и изгибающие моменты М, поэтому число уравнений статики в этом случае уменьшается до двух:

Σ F = 0; Σ М = 0, ( 1.1 )

Если по итогам расчета окажется, что предложенное нами направление реакции опоры ошибочно – в результате решения уравнений статики, мы получим знак (-).

3. Так как все задачи курса сопротивления материалов решаются методом сечений, разбиваем исследуемую балку на участки, в пределах каждого из которых остаются постоянными или монотонно изменяются по известному нам закону направление оси и сечение балки и внешние нагрузки.

4. Следующий шаг – нахождение поперечных усилий Q и изгибающих моментов М в сечениях по длине балки, для этого все участки последовательно рассекают сечениями и отбрасывают отсеченную часть, заменяя ее действие опорными реакциями – поперечным усилием Q и изгибающим моментом М в сечении, записывают уравнения равновесия и решая их находят численные значения поперечных усилий и изгибающих моментов. Если по итогам расчета окажется, что предложенное нами направление поперечных усилий и изгибающих моментов ошибочно – в результате решения уравнений статики, мы получим знак (-).

5. После нахождения поперечных усилий Q и изгибающих моментов М в сечениях по длине балки строят эпюры Q и М.

Эпюра – это условное графическое изображение усилий, напряжений и деформаций по длине балки в выбранном масштабе.

Поперечную силу Q считают положительной, если она направлена таким образом, что поворачивает исследуемый отсеченный участок балки относительно опоры или свободного конца по часовой стрелке (рисунок 1.1).

Rп ( d2 y / dх 2 ) > 0 М > 0 Rл Q > 0 Рисунок 1.1 - Знак Q Рисунок 1.2 - Знак М

Изгибающий момент М считается положительным, если он изгибает исследуемый элемент прогибом вниз (чашей дном вниз, которую можно заполнить водой) а концами (рогами) – вверх (рисунок 1.2).

При построении эпюр изгибающих моментов М и поперечных усилий Q следует руководствоваться следующими общими правилами:

А) при следовании взоль эпюры поперечных усилий слева направо в точках приложения сосредоточенных усилий F эпюра поперечных усилий Q имеет бросок амплитуды (разрыв непрерывности эпюры), равный приложенному усилию в направлении действия силы F, а на эпюре изгибающих моментов в этом месте наблюдается перелом (излом);

В) на участках, где действуют только сосредоточенные усилия эпюра поперечных усилий Q очерчена прямой, параллельной оси балки, а эпюра изгибающих моментов очерчена наклонной прямой в соответствии с уравнением:

М_Х = F · x; ( 1.2 )

С) на участке, где действует равномерно распределенная нагрузка q, эпюра поперечных усилий Q очерчена наклонной прямой в соответствии с уравнением:

Q_Х = q · x, ( 1.3 )

в направлении действия распределенной нагрузки с амплитудой по концам участка равной произведению распределенной нагрузки q на длину участка х,

а эпюра изгибающих моментов М очерчена кривой (параболой) описываемой уравнением:

М_Х = 0,5 q · x ², ( 1.4 )

причем прогиб балки направлен в направлении действия распределенной нагрузки q;

D) в точках приложения сосредоточенного изгибающего момента М эпюра моментов имеет бросок амплитудs (разрыв сплошности эпюры) равный по амплитуде величине приложенному изгибающему моменту;

Е) на консольной балке, где действует только сосредоточенный изгибающий момент М (в том числе на свободном конце консоли), эпюра изгибающих моментов очерчивается прямой, параллельной оси балки амплитудой равной величине приложенного изгибающего момента;

F) так как изгибающий момент М и поперечная сила Q связаны дифференциальной зависимостью:

dМ / dx = Q, ( 1.5 )

то на участках, где изгибающий момент М растет (ось х направлена слева направо), поперечная сила Q имеет положительное значение, а где изгибающий момент M убывает – поперечная сила Q отрицательна;

G) в точках, где эпюра поперечных сил Q меняет знак, пересекая ось эпюры усилий, на эпюре изгибающих моментов наблюдается экстремальные значения (max или min) так как в этой точке первая производная изгибающего момента равна нулю:

Q = dМ / dx = tg β = 0,

так как при экстремальном значении изгибающего момента М поперечная сила Q = 0, а касательная к кривой эпюры изгибающих моментов М

параллельна оси балки;

Н) в точках изменения знака изгибающего момента при переходе эпюры через 0 наблюдается перегиб эпюры прогибов балки.

6. По результатам расчета определяют размеры поперечного сечения балки из условия прочности:

σ = М_{| MAX |} / W_Z £ [ σ_Д ], ( 1.6 )

решив которое относительно момента сопротивления сечения W_Z получим:

W_Z ³ М_{| MAX |} / [σ_Д ],

где М_{| MAX |} - максимальный (экстремальный по абсолютному значению) изгибающий момент по длине исследуемой балки.

Для балки круглого сечения:

W_Z = 0,2 d ³; ( 1.7 )

для прямоугольного сечения высотой h и шириной b момент сопротивления сечения балки равен:

W_Z = (b · h² )/6 . ( 1.8 )

Для стандартных балок и прокатных профилей момент сопротивления исследуемого сечения определяют из таблиц сортамента.

7) Из выражения ( 6 ), решив его относительно изгибающего момента определяют несущую способность балки.

М_{| MAX |} £ W_Z × [ σ_Д ],

При расчете жесткости балки необходимо найти ее максимально возможный прогиб. При прямом поперечном изгибе бруса геометрическая ось балки изгибаясь, остается в силовой плоскости. Изогнутая ось балки представляет собой геометрическое место точек центров тяжести поперечных сечений деформируемого бруса, называется упругой линией балки. Линейное перемещение центра тяжести поперечного сечения в направлении нормальном оси недеформированной балки, называется прогибом f в сечении x; а угол j, на который поворачивается центр тяжести поперечного сечения, называется углом поворота сечения. Вычисление перемещений (линейного и углового) необходимо для определения пригодности исследуемой балки к эксплуатации и для расчета статически неопределимых балок, так как недостающие уравнения составляются из условия совместимости деформаций.