Лекция 10

Методы и модели нелинейного программирования.

Рассмотренные нами модели линейного программирования основаны на предположении о линейной зависимости между характеристиками объекта и

Элементами решения. Это предположение дает возможность использовать специальные математические методы, достаточно хорошо разработанные для линейных оптимизационных задач. В действительности, же многие реальные зависимости в большей или меньшей степени являются нелинейными. Так, например, при решении транспортных задач предполагалось, что стоимость перевозки одной единицы груза - величина постоянная, в то время как транспортные тарифы очень часто зависят от расстояния, на которое осуществляется перевозка. Аналогичным образом, при решении производственно-транспортной задачи ,предполагалась независимость себестоимости производства одной единицы продукции от объемов производства. На самом же деле эта себестоимость производства одной единицы продукции в значительной мере зависит от этих объемов.

Целевая функция и ограничения модели (2.8) - (2.1) являются нелинейными функциями элементов решения , t, и S. Следовательно, рассмотренная нами в лекции № 2 задача оптимизации режимов процесса рамного пиления является задачей нелинейного программирования.

Если в задаче математического программирования хотя бы одна функция в левой части ограничений или целевая функция отличается от линейной, то такая задача называется задачей нелинейного программирования (ЗНП).

Пример:

(10.1)

В этой задаче нелинейной является целевая функция модели.

В задаче

(10.2)

Нелинейно 2-е ограничение модели.

Задачи нелинейного программирования намного сложнее и разнообразнее, чем ЗЛП. Для их решения не существует универсальных методов, аналогичных, например, симплекс методу, который используется для решения задач линейного программирования. Это объясняется отсутствием многих свойств решений, которые имели место и использовались при реализации алгоритмов решения ЗЛП. В частности , оптимальное решение ЗНП может находиться как внутри так и на границе ОДР. В задачах же линейного программирования оптимальное решение всегда находиться на границе ОДР.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий это свойство задач нелинейного программирования. Пусть требуется решить следующую задачу:

( -2)²+( -5)² min (10.3)

1 5

2 7.

Легко определить что оптимальным для этой задачи будет решение =2; =5,

Причем эти значения переменных и лежат внутри ОДР.

Рассмотрим теперь другую, по внешнему виду очень напоминающую предыдущую, задачу:

( -2)²+( -5)² max

1 5 (10.4)

2 10

Для этой задачи оптимальным решением будет точка, лежащая на границе ОДР =5; =10.

Градиентные методы нелинейного программирования.

В основе большинства методов решения задач нелинейного программирования лежит использование градиентного метода поиска экстремума функции. Основная идея градиентного метода заключается в том, чтобы в процессе поиска экстремума двигаться в направлении наибольшего возрастания целевой функции.

Рассмотрим этот метод применительно к задаче отыскания max функции двух переменных: F( ; ). Будем считать, пока, что ограничения в модели отсутствуют. Рассмотрим координатную плоскость, по осям которой будем откладывать значение переменных и . Изобразим на этой плоскости линии уровня.

Линии уровня – это кривые, обладают следующим свойством: в различных точках некоторой линии уровня целевая функция принимает одно и тоже значение.

_РИС.10.1

Использование линий уровня позволяет отобразить на плоскости геометрический образ функции 2-х переменных.

Предположим, что отыскание максимума начинается с вычисления функции F(X1,X2) в некоторой произвольной точке с координатами (Х₁₀;Х₂₀). Далее для отыскивания точки max можно двигаться в любом из бесчисленного множества направлений на плоскости. Учитывая, что положение точки максимума неизвестно, лучшим из этого множества направлений будет, по – видимому, то, в котором целевая функция возрастает быстрее всего. Это направление называется градиентом функции. Отметим, что в каждой точке координатной плоскости направление градиента перпендикулярно касательной к линии уровня, проведенной через ту же точку. В математическом анализе доказано, что составляющие вектора градиента функции являются ее частные производными по аргументам. Для функции 2-х аргументов компоненты вектора градиента определяются по формуле:

В общем виде для функции n переменных у (Х₁;Х₂;….Х_n) выражение для вектора градиента имеет следующий вид:

Из ( 10.5 ) и ( 10.6 ) следует что использование градиентного метода предполагает возможность вычисления первых производных целевой функции.

Рассмотрим основные этапы применения градиентного метода.

1.выбирается некоторая начальная точка .

2.вычисляются частные производные от целевой функции по аргументам и составляется вектор grad по формуле (10.6)

3.вычисляются компоненты этого вектора для данной исходной точки

4.осуществляется переход в следующую точку или делается рабочий шаг в направлении grad у. При этом значения переменных в новой точке определяем по формулам:

(10.7)

(10.8)

В формулах ( 10.7 ) и (10.8 ) - некоторое число, которое называется длинной шага.

Далее процедура повторяется для точки вновь вычисляются составляющие градиента, делается следующий шаг и т. д. Траекторию движения к точке максимума иллюстрирует рис. 10.2.

:

Рис 10.2

Рассмотрим пример. Пусть требуется найти максимум функции

У= (10.9)

Легко определить, что оптимальным решением этой задачи будет

Соответствующее оптимальному решению значение целевой функции будет равно 50:

У=50 (10.10)

Предположим, что исходная точка Х поиска находится в начале координат:

X ( ). Т.е. X1=0, X2=0. Расcчитаем значение целевой функции в этой точке:

= . (10.11)

Найдем частные производные функции по X1 и X2:

Чтобы получить значения компонент вектора градиента в исходной точке, подставим в ( ) и ( ) Х1=0 и X2=0

Таким образом в исходной точке компоненты градиента равны 8 и 12. Поэтому координаты следующей точки вычисляются по формуле:

Зададимся значением =0,1 и найдем для этого значения координаты и следующей точки X:

Рассчитаем значение У1 целевой функции в этой новой точке:

У1= =16,1

Сравнив значения целевой функции в исходной точке и точке

Видим, что при переходе к точке целевая функция увеличилась на 18.

То есть, выбранное нами направление действительно соответствует направлению возрастания функции.

Далее находим координаты следующей точки X:

Подставив полученные значения и в ( ),

получаем у =28,7. Сравним полученные нами в различных точках значения целевой функции:

Из ( ) видно, что целевая функция по прежнему возрастает. Поэтому процесс поиска максимума необходимо продолжить.

Поиск максимума прекращается после достижения точки максимума, точнее говоря, его окрестности, так как метод обладает конечной точностью которая, в первую очередь, зависит от величины шага . С уменьшением величины шага точность определения экстремума возрастает, однако, возрастает и количество итераций, т.е. трудоемкость применения градиентного метода.

Основными признаками того, что текущая точка находится вблизи максимума функции, является уменьшение ( по абсолютной величине) значения частных производных-компонентов вектора градиента. Для точки экстремума должны выполняться условия:

Если в результате перехода к следующему, (i+1)-му шагу, окажется, что значение целевой функции меньше, чем на предыдущем, i-м шаге, то это означает, что точка максимума уже пройдена. В этом случае (в зависимости от величины шага и заданной точности определения максимума) можно прекратить вычисления или вернуться к предыдущей точке. Далее можно уменьшить величину шага, и рассчитать целевую функцию в новой точке, которая будет получена с использованием уменьшенного значения шага или использовать иные алгоритмы, позволяющие повысить точность определения максимума. Отметим, что еще одним признаком, свидетельствующем о том, что точка экстремума пройдена, является смена знака частных производных. Как известно из математического анализа производная имеет положительное значение на участке где функция возрастает, и отрицательное, для убывающей функции.

При использовании градиентного метода необходимо учитывать следующее.

Градиентный метод является приближенным методом отыскания экстремума. Тоесть в результате его применения можно получить лишь приближенное решение задачи.

Если отыскивается min, а не max целевой функции, то в формулах ( 10. )- (10.8 ) знаки перед вторыми слагаемыми изменяются на противоположные. В этом случае движение осуществляется теперь в направлении, противоположном направлению градиента, которое называется антиградиентом.

Во многих задачах не удаётся получить аналитического выражения для частных производных. В этом случае частные производные вычисляются приближенно на каждом этапе. С этой целью делают так называемые пробные шаги. Сначала вычисляют целевую функцию в исходной точке . Пусть у(х⁽⁰⁾) – результат вычисления, затем делают пробный шаг в направлении параллельном оси х₁, то есть. смещаются от точки на некоторую величину по оси абсцисс. После этого определяют координаты следующей точки которые равны

(10.24)

Тогда приближенное значение первой компоненты вектора grad можно найти из формулы:

Для отыскания второй компоненты делается ещё один пробный шаг, теперь уже параллельно оси х₂ и вычисляются значения целевой функции в этой точке . Координаты этой точки определяются по формуле:

(10.25)

Далее находят приближенное значение второй компоненты вектора градиента,

и, аналогичным образом, всех остальных компонент.

Лекция 11