Назад к теории струн.

Пространства Калаби-Яу оказались тем, что нужно для теории струн. Надо только помнить, что это не одно конкретное пространство, а целый класс пространств и весьма немалый (317 206 375 пространств). Выбор одного конкретного из них, соответствующего нашей Вселенной-задача неразрешенная до сих пор. Ведь по большому счету о нем ничего не известно, кроме числа измерений и некоторые другие математические критерии. Еще одним критерием выбора может служить то, что существует три поколения элементарных частиц. Такое требование приводит к тому, что определенная характеристика пространства Калаби-Яу = эйлерова характеристика равнялась 6.

Особое место в теории струн занимает суперсимметрия. Согласно этой гипотезе каждой частице из стандартной модели ставится в соответствие частица суперпартнер, которая имеет спин, отличающийся от спина данной частицы на ½. То есть фермионам ставятся в соответствие бозоны и наоборот. В стандартной модели введение суперсимметрии делало ее менее чувствительной к выбору начальных условий и приводило к тому, что существует точка в которой при взаимодействия неотличимы друг от друга. Вместе с тем суперсимметрия не является необходимым компонентом стандартной модели. В теории струн же получается, что моды колебаний формируются в пары – одна из них соответсвует привычной нам частице, а другая ее суперпартнеру. Таким образом суперсимметрия является неотъемлемой частью теории струн. В этом смысле говорят о теории суперструн.

Возвращаясь к пространствам Калаби-Яу, они имеют скомпактифицированные циклические измерения. Это дает дополнительную возможность для струн, обматываться вокруг таких циклических измерений. Число оборотов струны вокруг измерения называют топологическим числом. Намотанная таким образом струна имеет способность совершать помимо обычных колебаний колебания вдоль оси, перпендикулярной ее плоскости. В данном состоянии струна имеет минимальную энергию, что соответствует минимальной массе частицы. Понятно, что масса частицы, таким образом, связана с длиной стуны и с радиусом циклического измерения. Можно сказать, что . А увеличивая массу увеличиваем и длину струны. Струна «растет». При уменьшении же радиуса меньше планковской длины оказывается, что свойства идентичны тем, которые были при радиусе большем планковской длины. То есть, фактически сингулярность отсутствует как таковая. В точке где радиус стремится стать меньше планковской длины пространство «выворачивается» и начинает расти.

Зеркальная симметрия.

Число семейств фундаментальных частиц, грубо говоря, определяется числом отверстий в многообразии Калаби-Яу. Таким образом, понятно, что в многообразиях разных размерностей и с разной топологией, но имеющих одинаковое общее число отверстий должны иметь одинаковое число поколений фундаментальных частиц. Это наводит на мысли о тождественности физических свойств во вселенных, базирующихся на таких пространствах. В действительности была обнаружена оперция – метод орбифолдов – которая переводит пространство с четным числом измерений в пространство с нечетным и наоборот. При этом число отверстий остается постоянным и по физическим свойствам такие вселенные действительно были бы эквивалентны не смотря на различные топологию и число измерений. О двух таких пространствах говорят, что они зеркально симметричны и соответственно, что в теории струн появляется новый вид симметрии-зеркальная симметрия. Зеркальная симметрия явилась мощным математическим средством – даже когда решить задачу в рассматриваемой топологии многообразия не представляется возможным достаточно преобразовать его в зеркально-симметричное пространство и решать задачу в нем, будучи уверенным при этом, что полученные результат буду физически эквивалентны результатам в прежнем пространстве. Кроме того, не вдаваясь в подробности, скажем, что этот факт приводит к возможности разрыва нашего пространства без каких-либо фатальных последствий; в геометрии ОТО такое невозможно.