Мурат

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

Экономический факультет

Кафедра прикладной информатики в экономике

РЕФЕРАТ

Задача о раскрое материала. Требования к формированию множества допустимых решений, критерий оптимальности задачи.

Выполнил: студент

гр. 2.11, Пузырный Д.С.

Проверил:

к.э.н., доцент, Мурат Е.П.

Ростов-на-Дону – 2014

Содержание

Введение…………………………………………………………………………3

1. Основная часть………………………………………………………………4

   1. Задачи о раскрое материала……………………………………………4

   2. Общая постановка задачи о раскрое одного материала……………...7

   3. Общая постановка задачи о раскрое нескольких материалов……….8

   4. Критерии оптимальности………………………………………………9

2. Заключение………………………………………………………………….10

3. Список литературы…………………………………………………………11

Введение

Целью нашей работы является нахождение наиболее оптимального решения задачи о раскрое материала, используя критерий оптимальности и формирования множества допустимых решений. Данные задачи являются частным случаем общей задачи планирования производства.

Задачи о раскрое материала

Задачи о раскрое материала являются частным случаем общей задачи планирования производства. Ниже рассмотрены две задачи, одна из которых посвящена распилу бревен , другая – раскрою ДСтП . Третья задача, посвященная раскрою листов фанеры на комплексные заготовки, предназначена для самостоятельного решения.

Задача №1. Для изготовления брусьев длиной 1,2 м, 3 м и 5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступают 195 бревен длиной 6м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Решение. Прежде всего, определим возможные способы распила бревен, указав соответствующее число получаемых при этом брусьев (табл. 1).

Таблица 1

Способ распила	Число получаемых брусьев длиной,
	1,2	3,0	5,0
1	5	-	-
2	2	1	-
3	-	2	-
4	-	-	1

Обозначим – число бревен, распиленных i-м способом (i = 1,2,3,4) и - число комплектов брусьев. Учитывая, что все бревна должны быть распилены, а число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности, экономико-математическая модель задачи примет вид: найти такой план раскроя бревен , при котором количество полученных комплектов будет максимальным

И выполняются ограничения

Задача №2. ДСтП размером 350x175 см подлежат раскрою на прямоугольные заготовки двух типоразмером: 200x70см и 160x90 . Требуется получить не менее 300 заготовок первого и не менее 400 заготовок второго типоразмера. При этом суммарное (по площади) количество отходов должно быть минимально.

Решение. Рассмотрим все возможные варианты раскроя плит на заготовки (рис. 1).

Рисунок 1. Варианты раскроя ДСтП на заготовки

На рис.1(а) показан вариант раскроя плиты на две заготовки 1-го и одну заготовку 2-го типоразмера, обеспечивающий площадь отходов

Часть плиты, уходящей в отходы, закрашена серым цветом. Все другие варианты, содержащие эти же три заготовки, различаются только их расположением на плите и эквиваленты с точки зрения экономичности.

По варианту раскроя, представленному на рис. 1(б), можно получить одну заготовку 1-го и две заготовки 2-го типоразмера, площадь отходов равна

.

По варианту раскроя, представленному на рис. 6(в), можно получить три заготовки 2-го типоразмера с площадью отходов

Для решения задачи следует выяснить, сколько плит надо раскроить по каждому из рассмотренных вариантов при выполнении предъявляемых требований. Обозначим через количество плит, раскраиваемых по первому варианту, – по второму варианту, – по третьему варианту. Составим ограничение по выпуску заготовок 1-го типоразмера. Из одной плиты по первому варианту раскроя получается две таких заготовки, из плит заготовок 1-го типоразмера. Кроме того, по одной такой заготовке получится при раскрое каждой плиты по второму варианту. Всего по этому варианту раскраивается плит, из которых вырабатывается заготовок 1-го типоразмера. Таким образом, общее количество заготовок 1-го типоразмера равно

Аналогичным образом составляется ограничение по выработке заготовок 2-го типоразмера

.

Выражение для суммарного количества отходов при раскрое является целевой функцией, имеющей вид

Таким образом, экономико-математическая модель задачи оптимального раскроя ДСтП на заготовки имеет вид: найти такой план раскроя при котором целевая функция, определяющая суммарную площадь отходов, минимальна

→min

И выполняются следующие ограничения:

Общая постановка задачи о раскрое одного материала

На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве а единиц. Требуется изготовить из него l разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных , (условие комплектности).

Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, причем использование i-го способа (I = 1,2,…,n) дает единиц k – го изделия (k = 1,2,…,l).

Необходимо найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим - число единиц материала, раскраиваемых i – м способом, и х – число изготавливаемых комплектов изделий.

Так как общее количество материала равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, то

(1)

Требование комплектности выразится уравнениями

(k = 1,2,…,l). (2)

Очевидно, что

0 (i = 1,2,…,n). (3)

Экономико-математическая модель задачи: найти такое решение = (,), удовлетворяющее системе уравнений (1) и (2) и условию (3), при котором функция Z() = x принимает максимальное значение.

Общая постановка задачи о раскрое нескольких материалов

Задачу о раскрое можно легко обобщить на случай m раскраиваемых материалов. Пусть каждая единица j-го материала (j = 1,2,…,m) может быть раскроена n различных способами, причем использование i-го способа (i = 1,2,…,n) дает единиц k-го изделия (k = 1,2,…,l), а запас j-го материала равен единиц.

Обозначим – число единиц j –го материала, раскраиваемого i – м способом. Экономико-математическая модель задачи о раскрое в общем постановке примет вид: найти такое решение, удовлетворяющее системе ограничений

(4)

и условию

, (5)

при которых целевая функциях Z() принимают максимальное значение:

Z()= x →max (6)

Критерии оптимальности

Критерий оптимальности — фундаментальное понятие современной экономики (которая переняла его из математического программирования и математической теории управления); применительно к той или иной экономической системе это один из возможных критериев (признаков) ее качества, а именно тот признак, по которому производится сравнение вариантов и один или несколько из них признаются наилучшими из возможных (в данных объективных условиях).

Применительно к конкретным экономическим решениям К. О. — показатель, выражающий предельную меру экономического эффекта от принимаемого решения для сравнительной оценки возможных решений (альтернатив) и выборанаилучшего из них. Это может быть максимум прибыли, минимум затрат, кратчайшее время достижения цели и т. д.

Нормирование критериев

Для удобства и однозначности восприятия критерии Ki (где i = 1,…, m; m — число критериев) нормируют, то есть обычно приводят к следующему виду:

• K_i ≥ 0

• критерии K_i убывают с улучшением решения, с ростом качества проектируемого объекта (встречается и обратное требование).

• предпочтительно критерии приводить к безразмерному виду.

• как следствие, наилучшее значение критерия равно нулю. Решения, у которого все критерии нулевые (Ki = 0), соответствует идеальному конечному результату (ИКР), когда объекта нет, но его функция выполняется.

Заключение

Для оптимального решения задач по планированию производства современному экономисту необходимо уметь формулировать математическую модель поставленной задачи

Литература

1. Критерий Оптимальности//http://slovari.yandex.ru/