К вадратична регресія

Рівняння параболічної регресії має вигляд

.

Якщо використовувати метод найменших квадратів (МНК), то для коефіцієнтів складається і вирішується нормальна система лінійних рівнянь з матрицею

Вхідні сюди величини підраховуються за даними спостережень.

Ліва частина – це середні значення різних ступенів фактора Х. Права – це середні значення добутків:

або

Полічивши ці числа і вирішуючи систему рівнянь, знаходимо коефіцієнти регресії.

Можна підраховувати кожну з цих величин окремо. Але можна застосувати для цей і інший спосіб, матричний. При цьому вся матриця коефіцієнтів системи підраховується відразу.

Для цього спочатку потрібно сформувати вихідні дані у виді матриць

Для фактора Х ця матриця складається з трьох стовпців:

• стовпець з одиниць;

• стовпець власне Х;

• стовпець квадратів.

Тут величини записані точно так само, як і в рівнянні регресії:

Тепер вихідні дані зібрані в двох матрицях. Це матриця X. і матриця Y.

Матриця нормальної системи обчислюється добутком матриць ,

де - транспонована матриця.

Стовпець правих частин нормальної системи обчислюється як добуток матриць

Якщо і невідомі коефіцієнти сформувати в матрицю

то сама система теж може бути записана в матричному виді.

.

Але тоді природно і рішення одержати в матричному записі, у виді зворотної матриці:

Зауваження:

Якщо будувати рівняння регресії у виді багаточлена

і при цьому використовувати матричний спосіб складання і рішення нормальної системи, то формули анітрошки не зміняться, тільки матриця Х вихідних даних буде містити вже n стовпців.

Перевірка адекватності квадратичного рівняння регресії

Проводиться за критерієм Фішера

Проводиться порівняння двох дисперсій: виправленої дисперсії фактора Y і дисперсії залишків

• виправлена дисперсію Y :

• дисперсія залишків: .

- число коефіцієнтів у рівнянні регресії, тобто вираз 3.

Підраховане значення критерію, що спостерігається, порівнюємо зі знайденим з таблиць критичним значенням Фішера. Для користування таблицями задаємо рівень значимості і числа ступенів свободи:

Чим більше F _р у порівнянні з F _кр , тим вище адекватність. Порівнюючи, робимо висновок про адекватність (або неадекватності) побудованої кореляційної моделі причому оцінюємо і ступінь адекватності.

Б агатофакторна лінійна економетрична модель

Рівняння багатофакторної (множинної) лінійної регресії має вигляд:

.

Методом найменших квадратів (1МНК) обчислюються оцінки невідомих параметрів моделі і у наступній послідовності формування матриць коефіцієнтів і правих частин:

Далі знаходиться матриця , обернена до матриці ; і обчислюється вектор оцінок параметрів моделі за допомогою добутку матриць:

, перший елемент якого значення параметра b₀, далі b₁, b₂, b₃.

М ножинна кореляція

Використовуючи Пакет аналізу в MS Excel:

• Сервис → Анализ данных → Регрессия - знаходиться множинна кореляції R;

• Сервис → Анализ данных → Корреляция - знаходиться кореляційна матриця.