3Способ (с помощью инструмента анализа данных Регрессия):

Использовать инструмент анализа данных Регрессия для получения: результатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа, доверительных интервалов, графиков подбора линии регрессии, остатков и нормальной вероятности.

Порядок действий следующий: вкладка Файл/Параметры/Надстройки/нажать Перейти/ в окне Надстройки установить флажок Пакет анализа/ нажать ОК и вкладка Данные/ группа Анализ / Анализ данных / в окне Анализ данных выбрать Регрессия и нажать ОК.

Рисунок 11 – Параметры Excel

Рисунок 12 - Надстройки

Рисунок 13 –Анализ данных

Появится диалоговое окно Регрессия входных данных и параметров вывода. Необходимо заполнить в нем пустые поля.

Входной интервал у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал х – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа - ноль – логическое значение, которое указывает на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении регрессии;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист – можно создать произвольное имя нового листа.

Замечание. Если необходимо получить информацию об остатках и графики остатков, установите соответствующие флажки в диалоговом окне.

Рисунок 14 - Диалоговое окно ввода параметров инструмента РЕГРЕССИЯ

Результаты регрессионного анализа:

Рисунок 15 - Результат применения инструмента Регрессия

Остальные результаты применения инструмента Регрессия представлены в приложениях Б, В, Г.

4Способ (с помощью вычислений):

Аналитический способ нахождения значений .

• Построить таблицу вида:

  x	y эксп= yi	y теор= y(xi)	yi*xi	xi^2	yi^2	(yi-ycp)^2	(yi-y(xi))^2	(xi-xcp)^2	|yi-y(xi)|:yi	№
  										1
  										2
  										…
  										20
  										сумма
  xcp	ycp									Среднее значение

• Вычислить значения с помощью формул (2) и (3) – см. стр. 4.

№2 Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициенты детерминации (обычный и исправленный) и среднюю ошибку аппроксимации.

Выборочные средние:

x_ср = ∑x_i / n = 21 / 20 = 1.05; y_ср = ∑y_i / n = 108.93 / 20 = 5.45; xy_ср = ∑x_iy_i / n = 111.38 / 20 = 5.57

Выборочные дисперсии:

S²(x) = ∑x²_i / n - x²_ср = 28.7 / 20 - 1.052 = 0.33 S²(y) = ∑y²_i / n - y²_ср = 594.76 / 20 - 5.452 = 0.0762

обозначение	Значение	Вычисление
Линейный коэффициент парной корреляции (rxy)	-0.9405	КОРРЕЛ(диапазон X; диапазон Y)
Коэффициент детерминации обычный (R2)	0.8846	Рассчитан (см. рис.15 и 14, таб.3) или
Коэффициент детерминации исправленный (нормированный) (R2скор, )	0,8782	Рассчитан (см. рис.15) где m - количество объясняющих переменных модели (число факторов), n – число наблюдений.
Средняя ошибка аппроксимации ( )	1.44%
Коэффициент регрессии ( )	-0.45	Рассчитан (см. рис.15, 14, 7 и формулу (2)

Рисунок 16 - Результат расчета коэффициентов

Величина влияния фактора на исследуемый отклик может быть оценена при помощи коэффициента линейной парной корреляции, характеризующего тесноту линейной связи между двумя переменными.

Коэффициент обладает следующими свойствами:

1) не имеет размерности, следовательно, сопоставим для величин различных порядков;

2) изменяется в диапазоне от –1 до +1. Положительное значение свидетельствует о прямой линейной связи, отрицательное – об обратной. Чем ближе абсолютное значение коэффициента к единице, тем теснее связь. Считается, что связь достаточно сильная, если коэффициент по абсолютной величине превышает 0,7, и слабая, если он менее 0,3. Качественная оценка тесноты связи величин Х и Y может быть оценена на основе шкалы Чеддока:

Тестона связи	Значение коэффициента корреляции
Слабая	0,1-0,3
Умеренная	0,3-0,5
Заметная	0,5-0,7
Высокая	0,7-0,9
Весьма высокая	0,9-0,99

Как известно, прямая линия описывается уравнением вида (1). В нашем примере параметры уравнения регрессии ,92 где – результирующий признак, – факторный признак, и – числовые параметры уравнения ( есть наклон, – константа данной парной регрессии). Коэффициент в уравнении регрессии называется коэффициентом регрессии.

Смысл коэффициента регрессии

В общем случае коэффициент регрессии показывает, как в среднем изменится результативный признак ( Y ) (понизится - «-», повысится – «+»), если факторный признак ( X ) увеличится на единицу.

Линейный коэффициент корреляции	Теснота связи между признаком и фактором весьма высокая, направление связи - обратная.
Коэффициент регрессии	Интерпретации коэффициента регрессии. По имеющимся наблюдениям, при повышении величины фактора на 1 единицу (ед. изм.) понижается в среднем на 0.45 (ед. изм.).

Свойства коэффициента регрессии

•  Коэффициент регрессии принимает любые значения.

•  Коэффициент регрессии не симметричен, т.е. изменяется, если X и Y поменять местами.

•  Единицей измерения коэффициента регрессии является отношение единицы измерения Y к единице измерения X ([ Y ] / [ X ]).

•  Коэффициент регрессии изменяется при изменении единиц измерения X и Y .

Сравнение коэффициентов корреляции и регрессии

Коэффициент корреляции	Коэффициент регрессии
Принимает значения в диапазоне от -1 до +1. Безразмерная величина. Показывает силу связи между признаками. Знак коэффициента говорит о направлении связи (положительная (прямая), отрицательная (обратная).	Может принимать любые значения. Привязан к единицам измерения обоих признаков. Показывает структуру связи между признаками. Знак коэффициента говорит о направлении связи.

Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических.	С помощью ошибки абсолютной аппроксимации производят оценку качества уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.
Множественный коэффициент R = 0,9405	Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.
Коэффициент детерминации обычный R 2=0.8846	88.46% вариации зависимой переменной ( ) объясняется вариацией независимой переменной ( ). Остальные 11,54% вариации зависимой переменной объясняются другими факторами, неучтенными в модели. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии – высокая.
Cкорректированный (нормированный, исправленный) коэффициент детерминации R2скор= 0,8782	Если значения обычного и исправленного коэффициентов детерминации различаются незначительно, а также R2 >= R2скор и их значения велики, то считается, что регрессия аппроксимирует эмпирические данные достаточно точно и тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии.

показывает качество подгонки. Чем ближе значение к 1, тем ближе модель к собранным наблюдениям.

В регрессионном анализе коэффициент детерминации свидетельствует о качестве регрессионной модели и отражает долю общей вариации результирующего признака , объясненную изменением функции регрессии . Справедливо соотношение 0<=R²<=1. Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение множественной регрессии объясняет поведение .

Замечание. Если R² > 0.8, то качество подгонки регрессионной модели к наблюденным значениям y_i считается хорошим. Чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем лучше точки на регрессионном поле укладываются на линию регрессии, т.е. тем выше уровень «подгонки» модели (Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение множественной регрессии объясняет поведение y).

Если R² < 0.5, то модель надо улучшить либо выбрав другие факторы, либо увеличив количество наблюдений (при функциональной связи между переменными R² равняется 1(эмпирические точки расположены на линии регрессии), а при отсутствии связи — 0) .

Для того чтобы исследователи не увеличивали R² с помощью добавления дополнительных факторов, R² заменяется на скорректированный Adjusted R-squared (обозначение: или R²_скор), который даёт штраф за дополнительно включённые факторы.

Для небольших значений n (<30) необходимо использовать скорректированный коэффициент детерминации.

для m>1, где m – количество факторов. Скорректированный коэффициент детерминации является более объективной оценкой. С ростом значения m скорректированный коэффициент детерминации растет медленнее, чем обычный. Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации. Очевидно, что только при R² = 1. может принимать отрицательные значения.

Из двух вариантов уравнений, которые отличаются величиной скорректированного коэффициента детерминации, но имеют одинаково хорошие другие критерии качества, предпочитают вариант с бóльшим значением скорректированного коэффициента детерминации.

Если величина скорректированного коэффициента детерминации достаточно велика, следовательно, при построении модели были учтены наиболее существенные факторы.

Замечание. Величина коэффициента детерминации R² имеет смысл только в том случае, когда константа включена в состав регрессоров, и может быть интерпретирована как доля вариации зависимой переменной, объясненная вариацией независимых переменных (факторов) регрессионного уравнения.

№3 Произвести оценку параметров уравнения регрессии.

Поскольку проверка гипотез основана на предположении о нормальности распределения ошибок регрессионного уравнения, необходимо проверить его выполнение для полученного вектора остатков регрессии.

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии

1. t-статистика. Критерий Стьюдента.

Выполнить проверку нулевой гипотезы H0 о равенстве нулю некоторого коэффициента регрессионного уравнения (H0: βi=0).

ПЕРВЫЙ СПОСОБ

Необходимо сравнить фактическое значение статистики с критическим значением t-статистики Стьюдента для выбранного уровня значимости ε, то есть со значением двусторонней (1-ε) квантили t-статистики Стьюдента с n-k степенями свободы.

Величина ε характеризует допустимый уровень вероятности ошибиться, отвергнув нулевую гипотезу, когда она верна. В теории проверки статистических гипотез величину ε называют ошибкой первого рода.

Если фактическое значение t-статистики Стьюдента больше критического значения статистики, то нулевая гипотеза отвергается для данного уровня значимости ε, иначе нулевая гипотеза не может быть отвергнута для данного уровня значимости ε.

В случае отклонения нулевой гипотезы для уровня значимости ε говорят, что коэффициент βi (a или b) регрессионного уравнения значим на уровне значимости ε (или, говорят, что оценка коэффициента βi (a или b) значимо отличается от нуля) и соответствующий ему регрессор объясняет вариацию зависимой переменной. В противном случае говорят, что коэффициент незначим на уровне значимости ε.

ВТОРОЙ СПОСОБ

Необходимо сравнить p-значение (фактическую вероятность принятия нулевой гипотезы данного коэффициента регрессии) с выбранным уровнем значимости ε. Если выполняется условие p<ε, то нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости ε, иначе нулевая гипотеза не может быть отвергнута для данного уровня значимости ε.

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	р-значение
Y-пересечение	5,919105263	0,045928748	128,8758253	3,78983E-28
Переменная X1	-0,450338346	0,038340578	-11,74573707	7,11847E-10

Нулевая гипотеза (Н0): = -0.45 равен 0

1 способ	2 способ
tf=|-11,74573707|>tkr=2.101	P=7,11847E-10 <0.05
нулевая гипотеза отвергается для данного уровня значимости ε	нулевая гипотеза отвергается для данного уровня значимости ε
коэффициент регрессионного уравнения значим на уровне значимости ε (или, говорят, что оценка коэффициента ) значимо отличается от нуля)	коэффициент регрессионного уравнения значим на уровне значимости ε (или, говорят, что оценка коэффициента значимо отличается от нуля)

Н0: = 9.9191 равен 0

1 способ	2 способ
tf=|128,8758253|>tkr=2.101	P=3,78983E-28 <0.05
нулевая гипотеза не отвергается для данного уровня значимости ε	нулевая гипотеза отвергается для данного уровня значимости ε
коэффициент регрессионного уравнения значим на уровне значимости ε (или, говорят, что оценка коэффициента значимо отличается от нуля)	коэффициент регрессионного уравнения значим на уровне значимости ε (или, говорят, что оценка коэффициента ) значимо отличается от нуля)

tкрит (n-m-1;α/2) = (18;0.025) = 2.101

Для нахождения табличного (критического) значения критерия Стьюдента определяют число степеней свободы, которое определяется по формуле , и находят его значение при определенном уровне значимости (например, 0,10; 0,05; 0,01).

Рисунок 17 - Расчет критического значения t-статистики Стьюдента

Расчёт критического значения t-статистики Стьюдента смотрите в приложении Д.

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии (самостоятельно рассчитать): (b - t_крит S_b; b + t_крит S_b), (a - t_крит S_a; a + t_крит S_a).

2) F-статистика. Критерий Фишера.

Статистика Фишера F (для проверки гипотезы о значимости уравнения в целом)

H0: { β1=β2=…=0}, то есть тестируется одновременное равенство нулю всех коэффициентов регрессионного уравнения кроме константы регрессии .

1 СПОСОБ

Необходимо сравнить фактическое значение статистики Фишера F_ф, с критическим значением статистики Фишера F_кр для выбранного уровня значимости ε, то есть со значением (1-ε) квантили статистики Фишера с (n-k, k-1) степенями свободы.

Если фактическое значение статистики Фишера F больше критического значения, то нулевая гипотеза отвергается для данного уровня значимости ε, иначе нулевая гипотеза не может быть отвергнута для данного уровня значимости ε.

В случае отклонения нулевой гипотезы для уровня значимости ε говорят, что регрессионное уравнение значимо в целом на уровне значимости ε и вариация независимых переменных объясняет вариацию зависимой переменной в регрессионном уравнении. В противном случае говорят, что уравнение в целом незначимо на уровне значимости ε и включенные в регрессию факторы не улучшают прогноз для зависимой переменной по сравнению с ее средним значением.

2 СПОСОБ

Воспользовавшись вторым методом тестирования гипотез для рассматриваемого примера, если получим, что p-значение для статистики Фишера Prob(F-statistic) близко к нулю, то это означает, что на любом достаточно малом уровне значимости α можно отвергнуть тестируемую нулевую гипотезу.

F	Значимость F
137,9623393	7,11847E-10

Н0: =0

1 способ	2 способ
=137,9623393 > Fkr=4,41	P=7,11847E-10 < 0.05
нулевая гипотеза отвергается для данного уровня значимости ε	нулевая гипотеза отвергается для данного уровня значимости ε
регрессионное уравнение значимо в целом на уровне значимости ε и вариация независимых переменных объясняет вариацию зависимой переменной в регрессионном уравнении	регрессионное уравнение значимо в целом на уровне значимости ε и вариация независимых переменных объясняет вариацию зависимой переменной в регрессионном уравнении

Расчет фактического значение критерия Фишера вычисляют следующим образом:

n – число наблюдений, m – число факторов.

Рисунок 18 - Расчет фактического значение критерия Фишера

Табличное (критическое) значение критерия Фишера вычисляют следующим образом:

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=18, Fтабл = 4.41

Рисунок 19 - Расчет табличного значение критерия Фишера

1. Определяют , которое равно количеству факторов ( ). Например, в однофакторной модели (модели парной регрессии) , в двухфакторной .

2. Определяют , которое определяется по формуле , где n - число наблюдений, m - количество факторов. Например, в однофакторной модели .

3. На пересечении столбца и строки находят значение критерия Фишера

Оценка уравнение в целом

При оценке значимости коэффициента линейной регрессии на начальном этапе можно использовать следующее грубое правило, позволяющее не прибегать к таблицам.

Если стандартная ошибка коэффициента больше его модуля (|t| < 1), то коэффициент не может быть признан значимым, т.к. доверительная вероятность здесь при двусторонней альтернативной гипотезе составит менее чем 0.7.

Если 1<|t|<2, то найденная оценка может рассматриваться как относительно (слабо) значимая. Доверительная вероятность в этом случае лежит между значениями 0.7 и 0.95.

Если 2<|t|<3, то это свидетельствует о значимой линейной связи между X и Y. В этом случае доверительная вероятность колеблется от 0.95 до 0.99.

Наконец, если |t|> 3, то это почти гарантия наличия линейной связи.

Конечно, в каждом конкретном случае играет роль число наблюдений. Чем их больше, тем надежнее при прочих равных условиях выводы о значимости коэффициента. Однако для n >10 предложенное грубое правило практически всегда работает.

№4 На одном графике отложить исходные данные и теоретическую прямую. Спрогнозировать значение функции еще на два шага вперед от максимального .

Рисунок 20 - Исходные и рассчитанные данные

Е29: =$D$24*D29+$E$24

Замечание. Прогноз на следующий период: ТЕНДЕНЦИЯ(диапазон Y; диапазон X; новое значение Х).

Онлайн решение: http://math.semestr.ru/corel/corel.php

ПРИЛОЖЕНИЕ А