Вычисление обратных (инверсных) величин

В арифметике действительных чисел нетрудно вычислить мультипликативную обратную величину для ненулевого а:

или .

Например, мультипликативная обратная величина от числа 4 равна 1/4, поскольку

В модулярной арифметике вычисление мультипликативной инверсной (обратной) величины является более сложной задачей. Например, решение сравнения

эквивалентно нахождению таких значений х и k, таких что

,

где х и k – целые числа.

Определение. Число х является мультипликативным инверсным (обратным) числу a модулю n, если

, при .

Можно обозначить также

либо либо .

Решение этой задачи иногда существует, а иногда его нет.

Например, обратная величина для числа 5 по модулю 14 равна 3, поскольку

.

С другой стороны, число 2 не имеет обратной величины по модулю 14, т.к. .

Основные способы нахождения обратных величин

1. Проверить по очереди значения , пока не будет найдено такое, что .

2. Если известна функция Эйлера φ(n), то можно вычислить , используя алгоритм быстрого возведения в степень.

3. Если функция Эйлера φ(n) не известна, то можно использовать расширенный алгоритм Эвклида.

Пример. Найти обратную величину для числа а=5 по модулю n=7, т.е или .

Н аходим НОД

НОД , следовательно, обратная величина числа а=5 по модулю n=7 существует.

Первый способ нахождения обратной величины.

Пребираем х от 1 до n–1, т.е .

x	1	2	3	4	5	6
	5	10	1 5	20	25	30
	5	3	1	6	4	2

Получив выбираем соответствующий этому выражению х=3.

Следовательно, в ответе получим

_.

Проверка:

,

Второй способ вычисления обратных величин.

Модуль n=7 является простым числом. Поэтому функция Эйлера равна

Ответ:

Проверка:

,

Третий способ вычисления обратных величин.

Найдем НОД , используя расширенный алгоритм Эвклида

С ледовательно НОД

Найдем линейное представление НОД

1 = 5 – 2 · 2 = 5 – (7 – 5 · 1) · 2 =

= 5– 7 · 2 +5 · 1· 2=

=7· (–2)+5· 3,

и следовательно. , где u= –2 и v=3.

Тот же алгоритм можно описать при помощи таблицы

№	n	a	n mod a		d	u	v
1	7	5	2	1	1	–2	3
2	5	2	1	2	1	1	–2
3	2	1	0	2	1	0	1
4	1	0	–	–	1	1	0

В первых пяти столбцах (движение алгоритма вниз) – обычный алгоритм Эвклида.

Здесь – целая часть при делении n на a;

n mod a – остаток от деления n на a;

d – НОД(n,a) ;

И по теореме 1.4., если НОД(n, a ) =d, то найдутся такие целые числа u и v, что d=nu + av.

Последние два столбца (движение вверх) дают нам рекурсию построения расширенного алгоритма Эвклида.

Из последней (четвертой) строки, используя d=nu + av, записываем

1u + 0v= 1.

Следовательно, u=1, v=0. Заполняем нижнюю строку таблицы в двух последних столбцах.

Далее все время пользуемся nu + av=1 и , поднимаясь вверх по таблице.

Для третьей строки таблицы и , следовательно v=1.

и т.д.

, , v= –2;

и , v= 3.

Ответ:

Проверка:

,

Рассмотрим еще один пример нахождения обратной величины, с использованием расширенного алгоритма Эвклида.

Найти обратную величину для числа а=7 по модулю n=19, т.е или .

Проверяем , следовательно, обратная величина числа а=7 по модулю n=19 существует.

Найдем НОД , используя расширенный алгоритм Эвклида

С ледовательно

Найдем линейное представление НОД

1 = 5 – 2 · 2 = 5 – (7 – 5 · 1) · 2 =5 – (7 –(19 – 7· 2)· 1) · 2 =

=19 – 7· 2 – (7 –(19 – 7· 2)· 1) · 2 = 5– 7 · 2 +5 · 1· 2=

=19· 3–7· 8,

и следовательно. , где u= 3 и v= –8.

Отсюда, , или учитывая, что в модулярной арифметике , получаем ответ:

Проверка:

,

Сравнения первой степени

Определение. Пусть а и b – целые числа. Обозначим через целое n модуль для вычисления сравнений. Тогда выражение

называется сравнением первой степени с одним неизвестным.

Определение. Решить сравнение – значит найти все значения х, которые удовлетворяют данному сравнению, при этом при этом весь класс чисел по mod n считается за одно решение.

Случай 1.

Если , причем число d не делит b, то сравнение

не имеет решений.

Случай 2.

Если , т.е. числа взаимно просты, то сравнение

имеет одно и только одно решение.

Сравнению удовлетворяет класс решений , где

Случай 3.

Если , причем число d делит b, то сравнение

имеет d-решений

, , , , ,

где – решение сравнения ;

, , , .

Если решение сравнения можно найти, применяя теорему Эйлера , , умножив сравнение почленно на . Получим , следовательно . Используя , получим или , где

Также для решения сравнения используют ( ) следующий прием: сначала решают уравнение , т.е. определяют , затем находят . Пример:

а) Решить сравнение .

Проверяем, что . Следовательно, сравнение имеет одно решение.

Воспользуемся теоремой Эйлера. Найдем ;

.

Решение:

.

Используя свойства модулярной арифметики

Ответ:

,

Теперь для решения сравнения , используем другой способ.

Сначала найдем решение сравнения , т.е. определим . Функция Эйлера , см. предыдущий пример.

Затем находим .

Ответ:

,

б) Решить сравнение .

Находим . Число d делит b: .

Следовательно, сравнение имеет три решения.

Находим , , .

Находим

. Причем , следовательно, это сравнение имеет одно решение.

Решение

, ,

Задания