Лабораторная работа №2

Модулярная арифметика. Решение сравнений первой степени

Цель работы:

Теоретические сведения

Простые числа

Определение. Натуральное число p>1 называется простым, если оно не имеет других натуральных делителей кроме 1 и p.

Определение. Натуральное число p>1, имеющее кроме 1 и самого себя другие положительные делители называется составным.

Простым числом будет наименьший, отличный от 1 делитель целого a, a>1.

Теорема. Всякое целое число а>1, разложимо в произведение простых множителей. Это разложение единственно с точностью до порядка следования множителей.

В разложении числа а на произведение простых множителей некоторые из них могут повторяться. Если объединить повторения, то получается так называемое каноническое разложение числа а на простые множители.

Следствие. Если а – натуральное число, то оно имеет каноническое разложение

где – простые числа ( );

– кратность вхождения простых чисел в а.

Например:

.

Здесь , , , .

Классы вычетов

Определение. Совокупность чисел, сравнимых с a по модулю n называется классом чисел по модулю n (или классом эквивалентности, классом вычетов по модулю n).

Обозначается.

Из этого определения следует, что все числа одного класса имеют один и тот же остаток r от деления на n и могут быть представлены в виде nt + r при фиксированном r, t Z.

Определение. Любое число из класса вычетов называется вычетом по модулю n.

Определение. Вычет, равный самому остатку г, называется наименьшим неотрицательным вычетом.

Пример. Возьмем модуль n=5. И пусть a=8. Разделим a на n с остатком:

8=5·1+3.

Остаток r=3. Значит 8 [3]₅, и наименьший неотрицательный вычет числа 8 по модулю 5 есть 3.

Определение. Совокупность вычетов, взятых по одному из каждого класса эквивалентности , называется полной системой вычетов по модулю n.

Если все эти числа будут являться наименьшими неотрицательными вычетами по модулю n, то такая система вычетов называется полной системой наименьших неотрицательных вычетов, и обозначается .

– полная система наименьших неотрицательных вычетов.

Пример. Пусть n = 5 . Тогда:

0, 1, 2, 3, 4 – наименьшие неотрицательные вычеты;

Эта совокупность чисел образует полную систему вычетов по модулю 5.

При заданном n, r может принимать значения от 0 до n–1, т.е. всего существует n классов чисел по модулю n, и любое целое число попадет в один из классов по модулю n.

Определение. При выделении из полного набора вычетов подмножества вычетов взаимно простых с n, получается приведенный набор вычетов.

Пример. Если n=11, то полный набор наименьших неотрицательных вычетов есть {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Количество – n=11.

Приведенный набор вычетов по модулю n=11 – {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Количество – n–1=11–1=10, т.к. n – простое число.

Если n=10, то полный набор наименьших неотрицательных вычетов есть {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Количество – n=10.

Приведенный набор вычетов по модулю n=10 – {1; 3; 7; 9}. Т.к. только эти числа не имеют общего делителя с числом 10 не равного 1. Количество – 4.

Для произведения простых чисел приведенный набор вычетов имеет элементов.

Для предыдущего примера с n=10. При число элементов в приведенном наборе .

Функция Эйлера

Определение. Функция Эйлера φ(n) есть количество чисел ряда 1, …, n–1, взаимно простых с n (для всех целых положительных n).

Определение. Функция Эйлера φ(n) характеризует число элементов в приведенном наборе вычетов.

Свойства функции Эйлера:

1) φ(1)=1;

2)

Модуль n	Функция φ(n)
n – простое
	
(p, q – простые)
	
( – простые)

3) φ(n) – мультипликативная функция, т.е. имеет место соотношение .

, если .

Пример. Если n=27, то полный набор наименьших неотрицательных вычетов есть {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}. Количество – n=27.

Приведенный набор вычетов по модулю n=27 – { 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26}. Из полного набора исключены все элементы кратные 3. Всего девять элементов. Следовательно, количество – n–9=27–9=18.

Представим число . Т.к. p=3 является простым число, то количество элементов в приведенном наборе вычетов равно

элементов.

Пример. Найти функцию Эйлера

а) , т.к. число 3 – простое;

б) , т.к. числа 2 и 3 являются взаимно простыми;

в) , т.к. числа 3 и 6 не являются взаимно простыми. Следовательно, для числа 18 надо искать каноническое разложение , где – простые.

.

Теорема Эйлера. При n >1 и , имеем .

Теорема Ферма. Если p – простое и , то .

Эта теорема является следствием теоремы Эйлера при n=p.

Умножая обе части сравнения на а, получим сравнение , справедливое уже при всех целых а, т.к. оно верно и при а кратном p.