2. Параметрический способ уравнивания. Оценка точности.

Уравнивание геодезических измерений – совокупность математических операций, выполняемых для получения вероятнейшего значения геодезических координат точек земной поверхности и для оценки точности результатов измерений.

Уравнивание проводится для устранения невязок, обусловленных наличием ошибок в избыточно измеренных величинах, и для определения вероятнейших значений искомых неизвестных или их значений, близких к вероятнейшим. В процессе уравнивания это достигается путём определения поправок к измеренным величинам (углам, направлениям, длинам линий или превышениям).

В параметрическом способе применяется абсолютный экстремум минимизации целевой функции:

(1)

где - вектор свободных членов параметрических уравнений, в котором f(X) – вычисленное по неизвестным Х значение измеренной величины Т.

Если минимум функции (1) найден, то

где - оценки параметров (уравненные координаты пунктов),

V – вектор поправок в результаты измерений,

- значение уравненных измерений.

Таким образом, .

Для дирекционного угла  между двумя точками с координатами X1, Y1; X2, Y2

(2)

для измеренной стороны S имеем

(3)

для измеренного горизонтального угла  имеем

(4)

Решение систем нелинейных уравнений приводят к линейному виду, используя разложение в ряд Тейлора, но для этого необходимо знать приближенные значения параметров , т.е., нужно знать предварительные координаты пунктов и в качестве неизвестных параметров будут уже не сами координаты Х, а поправки к приближенным координатам

где – вектор оценок параметров; – вектор предварительных значений неизвестных; – вектор поправок в значения параметров.

В линейном виде имеем , где t – число параметров.

где – уравнение значения измерений; – измеренные величины; – поправки в измеренные величины.

где частные производные обозначим через коэффициенты линейных параметрических уравнений, тогда

где – свободный член параметрического уравнения, входящий в вектор L(X) в качестве компоненты.

Алгоритм параметрического способа уравнивания в матричной форме записи, в которой система линейных параметрических уравнений имеет вид

(5)

где используются следующие векторы и матрицы

; ; ; ;

где P_NN – диагональная матрица весов, некоррелированных измерений, используемая при отыскании неизвестных .

Поскольку число неизвестных меньше количества уравнений N, то система (5) называется переопределенной и, для получения однозначного решения под условием МНК обычно переходят к нормальным уравнениям, которые можно получить, умножая слева (5) на А^ТР

где в левой части получаем градиент целевой функции (1), а он в точке минимума равен 0. Обозначим R = А^ТРA, B = А^ТРL соответственно через матрицу коэффициентов нормальных уравнений R и вектор свободных членов нормальных уравнений. С учетом обозначений имеем

откуда

где - обратная весовая матрица, используемая не только при уравнивании, но и при оценке точности функции по формуле , ( )

где ; , в которых используются коэффициенты весовой функции с применением равенства

где f – оцениваемая функция со строкой коэффициентов , откуда видно, что коэффициенты весовой функции получаются по тем же правилам, что и коэффициенты линейных параметрических уравнений для различных измеренных величин.

Оценка точности:

Для оценки точности необходимо вычислить:

• СКП единицы веса

• ковариационную матрицу поправок в координаты Q = (A^TPA)^-1;

• СКП координаты, занимающей в векторе поправок   q-ую позицию,

где Q_qq - диагональный элемент на пересечении q-ых столбца и строки в матрице Q.  Совпадение значений СКП единицы веса, вычисленных до и после уравнивания,  свидетельствует о правильности стратегии выбора весов.