Задачи

173 207

1.Решить линейные уравнения с параметром (отв. на с. 207):

(a)( 2 − 2 + 1) · = 2 + 2 − 3.

(b)( 3 − 2 − 4 + 4) · = − 1.

(c)( 2 − 1) · + ( 2 − 1) · = 2 − 3 + 2.

(d)( 2 − 2 − 3) · + ( − 2) · = 2 − 4 + 3.

2.Решить системы линейных уравнений (отв. на с. 208):

+ 2 = 5;

(a)

3 + = 3.

5 − 3 = 1;

(b)

2 + 4 = 2.

2 + = 1;

(c)

4 + 2 = 2.

3 + 2 = 3;

(d)

6 + 4 = 5.

189

3.Решить системы линейных уравнений с параметром (отв. на с. 208):

(3 + ) · + 2 · = 3;

(a)

· − = 3.

(7 − ) + = 5;

(b)

(1 + ) + 3 = 5.

−4 + = 1 + ;

(c)

(6 + ) + 2 = 3 + .

4. Решить системы линейных уравнений (отв. на с. 209):

2 − − = 4;

(a)3 + 4 − 2 = 11;

3 − 2 + 4 = 11.

+ + 2 = −1;

(b)2 − + 2 = −4;

4 + 2 + 4 = −2.

3 + 2 + = 5;

(c)2 + 3 + = 1;

2 + + 3 = 11.

3 + 2 + = 5;

(d)2 + 3 + = 1;

2 + 8 + 2 = −6.

3 + 2 + = 5;

(e)2 + 3 + = 1;

2 + 8 + 2 = 8.

5.Решить линейные неравенства с параметром (отв. на с. 210):

(a)( 2 − 1) · > 2 − − 2.

(b)( 2 − − 6) · ≥ 2 + 3 + 2.

(c)( 2 − 4 + 3) · ≤ 2 + − 2.

6.Отобразить на плоскости геометрическое место точек

( ; ), заданное системой неравенств (отв. на с. 211):

2 − ≥ 0;

(a)+ 2 ≤ 5;

3 − 4 ≤ 5.

191

+ ≤ 3;

2 − ≤ 6;

(b)

3 + ≥ 0;

− 2 ≥ −6.

7.Турбаза располагает следующими ресурсами для организации лодочных походов с одной ночевкой: 12 инструкторов, 7 палаток и 15 лодок. Имеются два маршрута: средней и повышенной сложности. Для похода по маршруту средней сложности требуется 1 инструктор, 1 палатка и 3 лодки. По маршруту повышенной сложности – 2 инструктора, 1 палатка и 1 лодка. Изобразите на чертеже область производственных возможностей турбазы, если обозначить – количество походов по первому маршруту, – по второму. Сколько

икаких походов следует организовать, чтобы извлечь максимальный доход, а также чему будет равен доход (отв. на с. 211):

(a)если один поход по маршруту средней сложности даст 10 тысяч рублей, повышенной сложности – 8 тысяч;

(b)если один поход по маршруту средней сложности даст 7 тысяч рублей, повышенной сложности – 15 тысяч?

8.Найти вещественные корни (отв. на с. 212):

(a)2 2 − 5 + 10.

(b)2 + 2 + 7.

(c)3 2 + 2 − 5.

(d)2 2 − 3 + 1.

9.Решить квадратные уравнения с параметром (отв. на с. 212):

(a)(2 − 1) 2 − (3 + 1) + − 1 = 0.

(b)2 − (1 − 2 ) + − 2 = 0.

10.Решить неравенства (отв. на с. 213):

(a)2 + 3 − 10 > 0.

(b)2 2 − − 15 ≤ 0.

(c)2 − 2 + 7 > 0.

(d)2 + 3 + 3 < 0.

11.Решить неравенства с параметром (отв. на с. 213):

(a)2 + 2 + < 0.

193

(b)2 + 2 + 1 > 0.

12.Решить симметричные системы (отв. на с. 214):

+ = 9;

(a)

= 14.

+ = 5;

(b)

= −14.

+ = 7;

(c)

= 1.

+ = 14;

(d)

= 2.

+ = 1;

(e)

= 7.

+ = 2;

(f)

= 5.

13. Свести системы к симметричным и решить (отв. на с. 214):

2 + 5 = 9;

(a)

= 2.

3 − 2 = 8;

(b)

= 8.

2 + 3 = 3;

(c)

= 2.

5 − 3 = 2;

(d)

= −7.

2 + 7 = 10;

(e)

= 1.

7 − 3 = 11;

(f)

= −1.

14. Решить симметричные системы (отв. на с. 214):

+ + = 11;

(a)

+ − = 1.

2 + 2 = 100;

(b)

= 48.

3 + 3 = 28;

(c)

+ = 4.

195

2( + ) − = 4;

(d)

3 + + = 23.

15. Решить симметричные системы (отв. на с. 215):

+ + = 0;

(a)+ + = −7;

= 6.

+ + = 2;

(b)+ + = −5;

= −6.

16. Решить однородные системы (отв. на с. 215):

17.Представить многочлен ( ) в виде

( )· − ( )+ ( ), где степень остатка от деления

< . Деление многочлена на многочлен выполнить «лесенкой» (отв. на с. 215):

(a)5( ) = 2 5 + 5 4 + 2 3 + 4 2 + 3 + 7;2( ) = 2 + + 1.

(b)6( ) = 6 − 5 + 5 4 − 7 3 + 12 2 − 13 + 4;2( ) = 2 − + 3.

(c)7( ) = 2 7 − 6 −3 5 +9 4 +13 3 +20 2 −16 −33;3( ) = 3 − 2 2 + + 5.

(d)7( ) = 3 7−11 6+13 5−4 4+2 3+13 2−17 −7;3( ) = 3 − 3 2 + 2 + 2.

18.Представить многочлен ( ) в виде

( ) · −1( ) + , где ( ) – линейный член, – остаток. Деление многочлена на линейный член ( ) выполнить по схеме Горнера (отв. на с. 216):

(c)5( ) = 2 5 + 13 4 + 16 3 + 3 2 − 17 − 24;

( ) = + 5.

197

(d)5( ) = 3 5 − 8 4 + 5 3 − 5 2 + + 7;

( ) = − 2.

19.Разложить многочлены на множители (отв. на с. 216):

(a)4 − 4.

(b)2 + 14 + 49 2.

(c)3 − 6 2 + 12 2 − 8 3.

(d)4 + 2 + 1.

(e)4 + 4.

20.Разложить многочлены на множители (отв. на с. 217):

(a)5 + 3 4 − 4 3 − 12 2.

(b)5 + 3 2 − 2 3 − 5.

(c)4 + 2 3 − 2 − 1.

(d)4 4 + 5 2 + 1.

21.Разложить многочлены на множители, предварительно заметив, что числа 1 и 2 – их корни. Деление на

2 − 3 + 2 выполнить «лесенкой» (отв. на с. 217):

(a)4 − 13 3 + 53 2 − 83 + 42.

(b)4 + 7 3 − 7 2 − 43 + 42.

(c)5 − 8 4 + 10 3 + 46 2 − 119 + 70.

(d)5 − 8 4 + 24 3 − 66 2 + 119 − 70.

22.Разложить многочлены на множители. Для понижения степени многочлена «угадать» его целый корень (теор. на с. 111). Деление многочлена на линейный член выполнить по схеме Горнера (отв. на с. 217):

(a)3 − 11 2 + 31 − 21.

(b)3 + 12 2 + 39 + 28.

(c)4 − 8 3 + 8 2 + 56 − 105.

(d)4 + 8 3 + 22 2 + 56 + 105.

23.Разложить многочлены на множители. Для понижения степени многочлена «угадать» его рациональный корень (теор. на с. 112). Деление многочлена на линейный член выполнить по схеме Горнера (отв. на с. 217):

(a)5 3 + 4 2 + 9 − 2.

(b)2 3 + 9 2 + 11 + 3.

(c)2 3 + 5 2 − 5 + 1.

199

(d)3 3 + 17 2 + 4 − 4.

24.Разложить многочлен четвертой степени с симметричными коэффициентами на множители (отв. на с. 218):

(a)4 − 8 3 + 14 2 − 8 + 1.

(b)3 4 − 23 3 + 48 2 − 23 + 3.

(c)4 − 10 3 + 26 2 − 10 + 1.

(d)4 − 9 3 + 22 2 − 9 + 1.

25.Разложить многочлен шестой степени с симметричными коэффициентами на множители (отв. на с. 218):

(a)6 − 6 5 + 14 4 − 18 3 + 14 2 − 6 + 1.

(b)6 − 12 5 + 50 4 − 84 3 + 50 2 − 12 + 1.

26.Разложить многочлен на множители, исходя из предположения, что он имеет делитель вида 2 +

(отв. на с. 219):

(a)2 4 − 3 3 + 2 2 − 6 − 4.

(b)2 4 − 3 3 − 7 2 + 6 + 6.

(c)6 5 − 11 4 + 3 3 − 18 2 − 18 + 8.

(d)6 5 − 4 + 8 3 − 7 2 − 30 − 12.

27.Решить неравенства (отв. на с. 219):

(a)( + 4)( − 5)( + 1)( − 2)(3 − ) > 0.

(b)( − 2) ( − 3)( + 1) ≤ 0.

(c)( + 3)3( + 2)2 ( − 1)( − 2)2 ≥ 0.

(d)( + 5)2( + 3)( − 1)( − 2)2( − 3) < 0.

(e)( 2 + 2 + 5)( + 3)3( − 2)2( − 3) ≥ 0.

(f)( + 5)2( 2 + 3 + 3)( + 2)( − 1)2( − 2) < 0.

28.Решить неравенства (отв. на с. 220):

(a)3 + 2 2 + − 18 > 0.

(b)2 3 + 2 + 4 − 15 ≤ 0.

(c)4 − 6 3 + 10 2 − 6 + 1 > 0.

(d)2 4 + 3 + 4 2 + + 2 > 0.

29.Найти комплексные корни квадратных трехчленов (отв. на с. 220):

(a)2 + 4 + 5.

201

(b)2 + 5 + 7.

(c)3 2 − 2 + 1.

(d)5 2 − 3 + 3.

30.Найти комплексные корни многочленов (отв. на с. 220):

(a)3 + 2 − 3.

(b)2 3 − 2 2 + − 10.

(c)6 3 − 9 2 + 5 − 1.

(d)9 3 − 18 2 + 17 − 4.

31.Найти комплексные корни многочленов (отв. на с. 220):

(a)4 + 3 + 4 2 + + 3.

(b)2 4 + 2 3 + 9 2 + 4 + 10.

(c)6 4 − 6 3 + 5 2 − 3 + 1.

(d)9 4 − 15 3 + 15 2 − 5 + 4.

32.Даны комплексные числа 1 и 2. Найти 1 + 2, 1 − 2,

√√

√√

33.Привести комплексные числа к тригонометрической форме (отв. на с. 222):

(c)6 + · 5.

(d)5 − · 2.

34.Найти степень комплексного числа (отв. на с. 222):

(d)(cos 3 + · sin 3 )7 .

35.Решить уравнения (отв. на с. 222):

(a)3 − 8 = 0.

203

(b)4 − 16 = 0.

(c)4 + 81 = 0.

36.Найти корни кубических многочленов по формуле Кардано (отв. на с. 223):

(a)3 + 9 2 + 27 + 28.

(b)3 + 6 2 + 18 + 22.

(c)3 − 5 2 + 10 − 8.

(d)3 + 7 2 + 18 + 18.

37.Найти корни кубических многочленов по формуле Кардано (отв. на с. 223):.

(a)3 + 3 2 − 9 + 5.

(b)3 + 4 2 − 3 − 18.

(c)4 3 + 16 2 + 13 + 3.

(d)9 3 − 42 2 + 25 − 4.

38.Найти корни кубических многочленов по формуле Кардано (отв. на с. 223):

(a)3 − 15 2 + 60 − 28.

(b)3 − 15 2 + 60 − 72.

(c)3 − 3 2 − 12 + 36.

(d)3 − 7 2 + 13 − 3.

39.Найти корни многочленов по формуле Феррари (отв. на с. 224):

(a)4 4 + 16 3 + 4 2 + 8 + 1.

(b)4 4 + 32 3 + 36 2 − 16 + 1.

40.Найти границы корней многочленов (отв. на с. 224):

(a)8 3 − 3 2 + − 7.

(b)3 + 2 2 − 5 + 2.

(c)5 4 + 3 − 2 + 4.

(d)4 − 2 3 − 8 2 − + 2.

41.Построить по трем точкам интерполяционный многочлен Лагранжа и сгруппировать его члены по степеням (отв. на с. 224):

(a)(2; 5), (3; 7), (5; 8).

(b)(−3; 2), (0; 8), (5; 2).

205

(c)(−1; 3), (1; 0), (4; 6).

42.Найти квадратный трехчлен, график которого проходит через заданную точку 0, если известны его корни

1 и 2 (отв. на с. 224):

(a)0(8; 5), 1 = 2, 2 = 4.

(b)0(0; 2), 1 = −2, 2 = 5.

(c)0(−1; 5), 1 = 3, 2 = 7.

43.Решить уравнения (отв. на с. 224):

√√

(c)(4 − 2)2 2−2 − (4 − 2) 2−1 < 0.

(d)( 2 − 16) 2−2 +3 − ( 2 − 16) 2−3 +2 > 0.

45.Выразить через cos и sin (отв. на с. 225):

(a)cos 3 и sin 3 .

(b)cos 4 и sin 4 .

46.Известны первые три члена последовательности:

0 = 2, 1 = 1 и 2 = 2. Каждый следующий член выражается через предыдущие посредством отношения

= −1 + −2 + −3. Таким образом, первые 7 членов последовательности: 2, 1, 2, 13, 62, 241, 842. Построив производящую функцию, найти формулу общего члена последовательности (отв. на с. 225):