Аксиома параллельных прямых
Аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и строится вся геометрия.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следствиями называются утверждения которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем
Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Дано:
а||b,
Доказать:
Доказательство:
Если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы две прямые, параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, и, значит, прямая с пересекает прямую b.
Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Д
ано:
а||с, b||с
Доказать:
а||b
Доказательство:
Допустим, что прямые a и b не параллельны, т.е. пересекаются в некоторой точке М. Тогда через точку М проходят две прямые параллельные прямой с.
Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Поэтому наше предложение неверно, а значит, прямые а и b параллельны.
Теорема
Условие – это то, что дано
Заключение – это то, что требуется доказать.
Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы
Свойства параллельных прямых
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Д
ано:
а||b, MN- секущая.
Доказать:
(НЛУ)
Доказательство: (способ от противного)
Допустим, что
.
Отложим от луча МN угол NМР, равный углу 2.
По построению
накрест лежащие углы
РМ
||
b.
Получили, что через точку М проходит две прямые (а и МР), параллельные прямой b!!! Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит наше допущение неверно!!! .
Следствие
Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Дано:
а || b.
Доказать:
Доказательство:
Прямая с пересекает
прямую а, поэтому она пересекает также
прямую b.
При пересечении параллельных прямых а
и b
секущей с образуются равные накрест
лежащие углы:
.
Так как
,
то и
,
т.е.
,
что и требовалось доказать.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Д
ано:
а||b, с - секущая.
Доказать:
(СУ)
Доказательство:
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 1800.
Дано:
а||b, с - секущая.
Доказать:
(ОУ)
Доказательство:
.
Соотношения между сторонами и углами треугольника Сумма углов треугольника
Сумма углов треугольника равна 1800
Дано:
∆АВС.
Доказать:
Доказательство:
ДП : а||АС
НЛУ при а||АС
и секущей АВ
НЛУ при а||АС
и секущей ВС
Из чертежа видим,
что
.