1. 3. 2. Перетворення нормальних форм перемикальних функцій.

Одна і та сама перемикальна функція може задаватися різними аналітичними формами. Необхідність перетворення аналітичних форм функцій може бути обумовлена зміною елементного базису, пошуком форми з мінімальною ціною тощо.

На практиці під час побудови логічних схем можуть використовуватися логічні елементи, що реалізують функції різних алгебр. Найчастіше елементний базис, обумовлений мікроелектронною технологією, містить елементи з множини {І, АБО, НЕ, І-НЕ, АБО-НЕ}, тобто складається з елементів алгебр Буля, Шефера і Пірса. Таку систему функцій можна розглядати в аспекті розширеної практичної алгебри, яка має сукупні властивості відповідних алгебр.

Розширена алгебра має вісім нормальних форм представлення перемикальних функцій, котрі забезпечують побудову дворівневих комбінаційних схем, якщо на кількість входів логічних елементів немає обмежень.

Чотири нормальні форми поширеної алгебри можна одержати виходячи із ДДНФ і ще чотири – виходячи із ДКНФ перемикальної функції або ДДНФ заперечення функції. Якщо немає обмежень на кількість входів логічних елементів, то такі форми перемикальних функцій забезпечують побудову дворівневих комбінаційних схем.

Нормальним формам зручно надати назву, що складається із назв внутрішньої та зовнішньої операції. Наприклад ДДНФ може отримати назву форми І / АБО, ДКНФ – АБО / І і таке інше.

Розглянемо нормальні форми поширеної алгебри перемикальної функції двох аргументів , заданої таблицею істинності (табл. )

Таблиця

Таблиця істинності

0 0 0 1 1 0 1 1	1 0 0 1

У формі ДДНФ і ДКНФ задана перемикальна функція має відповідно вигляд:

;

.

Виходячи із ДДНФ з урахуванням аксіоми та правила де Моргана (2) одержимо перші чотири нормальні форми:

(І / АБО)

(І-НЕ / І-НЕ)

(АБО / І-НЕ)

. (АБО-НЕ / АБО)

На базі ДКНФ аналогічним чином отримаємо ще чотири нормальні форми:

(АБО / І)

(АБО-НЕ / АБО-НЕ)

((І / АБО-НЕ)

. (І-НЕ / І)

Останні чотири форми можна аналогічно одержати виходячи із заперечення перемикальної функції, що відповідає формі І / АБО-НЕ.

Для отримання заперечення функції виписують із запереченням кон’юнктивні терми наборів, на яких функція дорівнює нулю, поєднані операцією диз’юнкції.

Заперечення даної функції має вигляд:

.

Послідовно отримаємо:

(І / АБО-НЕ)

(І-НЕ / І)

(АБО / І)

. (АБО-НЕ / АБО-НЕ)

Із числа восьми нормальних форм розширеної алгебри можна знайти ті форми, які дозволяють побудувати комбінаційні схеми з використанням певної підмножини логічних елементів. У результаті дослідження параметрів комбінаційних схем можна обрати з них такі, що відповідають заданій цільовій функції проектування, наприклад, мають мінімальну складність або максимальну швидкодію.

Зауважимо, що отримання нормальних форм не вирішує завдання побудови комбінаційних схем в умовах обмеження кількості входів логічних елементів. У такому випадку необхідно одержати операторні форми функцій.

Розглянемо, яким чином можна перейти від булевого базису {І, АБО, НЕ} до базисів {І, НЕ} та {АБО, НЕ}.

Це питання являється вкрай важливим в разі отримання ДДНФ із заданої таблиці істинності і реалізації перемикальних функцій на інтегральних мікросхемах, оскільки саме мікросхеми дозволяють реалізувати функцію на логічних елементах І-НЕ і АБО-НЕ. При цьому досконалу нормальну форму функції записують у так званій операторній формі, тобто у вигляді суперпозиції операторів заданих логічних елементів.

Оператором логічного елемента називають функцію, що реалізує цей елемент.

В базисі елементів І, АБО, НЕ, І-НЕ, АБО-НЕ таких нормальних форм вісім: І / АБО, І-НЕ / І-НЕ, АБО / І-НЕ, АБО-НЕ / АБО, І / АБО-НЕ,

І-НЕ / І, АБО / І, АБО-НЕ / АБО-НЕ.

При записі цих операторних нормальних форм спочатку записується внутрішня функція а через риску (/) – зовнішня. Наприклад, для ДНФ функції внутрішньою є функція І, а зовнішньою – АБО, тобто нормальна форма даної функції має вигляд: І / АБО.

Покажемо одержання всіх нормальних форм на прикладі функції

і її заперечення .

Нормальні форми будемо позначати з використанням внутрішньої і зовнішньої функцій. Наприклад, у диз’юнктивної нормальної форми (ДНФ) внутрішньою є функція І, а зовнішньою - АБО, тобто ДНФ – форма типу І/АБО.

Взявши подвійне заперечення заданої функції і застосувавши кілька разів правило де Моргана, послідовно одержимо такі нормальні форми:

(форма І/АБО);

=

(форма І-НЕ/І-НЕ)

(форма АБО/І-НЕ)

(форма АБО-НЕ/АБО).

Виходячи із заперечення заданої функції, запишемо ще чотири нормальні форми:

(форма І/АБО-НЕ);

( форма І-НЕ/І);

(форма АБО/І);

(форма АБО-НЕ/АБО-НЕ).

Перехід до цих форм запису функції доцільний в разі, коли функція представлена в МДНФ.