1.4.4. Алгебра Жегалкіна
В деяких випадках перетворення над формулами перемикальних функцій зручно здійснювати в алгебрі Жегалкіна.
Алгебра Жегалкіна включає дві двомісні операції: кон’юнкцію і додавання за модулем 2, а також константу 1, тобто система функцій алгебри Жегалкіна містить двомісні функції І та ВИКЛЮЧНЕ АБО (сума за модулем 2), а також константу 1:
;
;
.
Місткість функцій І та ВИКЛЮЧНОГО АБО може бути збільшена, але за непарного числа аргументів вводиться додатково константа 0. Це пояснюється необхідністю мати в системі функцію, що не зберігає 1, для забезпечення функціональної повноти системи функцій цієї алгебри (див. параграф 1.5).
Аксіоми алгебри Жегалкіна:
;
;
;
;
;
;
;
.
Основні закони (властивості) алгебри Жегалкіна:
1. Комутативний (переставний) закон
;
.
2. Асоціативний (сполучний) закон
;
.
3. Властивість дистрибутивності (розподільний закон) виконується тільки в одному варіанті (тільки для множення відносно до додавання
.
Розподільний закон для додавання відносно множення не діє, тобто
.
Канонічною нормальною формою алгебри Жегалкіна є поліном Жегалкіна. Ця форма називається довершеною поліномінальною нормальною формою (ДПНФ). Поліном Жегалкіна можна одержати у такий спосіб.
1. Записати задану перемикальну функцію в ДДНФ.
2. Замінити
знак операції АБО між термами на ВИКЛЮЧНЕ
АБО (
).
Наприклад, якщо ДДНФ перемикальної
функції має вигляд
,
то, замінивши знак операції АБО між термами на ВИКЛЮЧНЕ АБО, можна записати
.
Така заміна правомірна, якщо функція представлена в ДДНФ. Це пояснюється тим, що ДДНФ складається тільки із конституент одиниці, Отже, на будь-якому наборі аргументів тільки одна конституента приймає одиничне значення, а всі інші – нульові. Таким чином, виконується рівність такого вигляду:
,
де положення одиниці у запису може бути довільним.
3. Кожний
аргумент із запереченням замінити на
суму за модулем два цього аргументу з
одиницею згідно з аксіомою
.
4. Розкрити дужки й спростити одержаний вираз шляхом викреслювання парних термів згідно з аксіомами ; .
Виконавши послідовно етапи 3 та 4, одержимо канонічну нормальну форму в алгебрі Жегалкіна заданої перемикальної функції:
.
Приклад. Одержати канонічні нормальні форми в алгебрі Жегалкіна функцій і , заданих таблицею істинності (табл. 1. 9).
Таблиця 1. 9
-
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
1 1
1 1
1 0
Функції і є відповідно функціями І та ВИКЛЮЧНЕ АБО, що очевидно із табл. 1. 9. Представимо задані функції у ДДНФ і виконаємо послідовно етапи перетворення форм перемикальних функцій.
;
.
Деколи трапляється, що перетворення над формулами функцій Буля зручно виконувати у алгебрі Жегалкіна. Зв’язок між алгебра ми Буля та Жегалкіна можна визначити з урахуванням одержаних у прикладі результатів і розглянутих аксіом:
;
;
.
Відповідно до вигляду полінома Жегалкіна визначається лінійність перемикальної функції.
Функція називається лінійною, якщо її поліном містить кон’юнктивні терми тільки першого рангу. В іншому разі функція вважається нелінійною.
У розглянутому прикладі функція є нелінійною (її поліном містить терм другого рангу ), а функція − лінійною.