Практическая работа №2 по дисциплине «Основы метрологии»

Специальность 2-38 01 31

Обработка результатов многократных измерений

Цель работы

Научиться практически рассчитывать случайную составляющую погрешности многократных измерений и записывать результат измерений в стандартной форме.

1 Краткие теоретические сведения

При многократных измерениях какой-либо постоянной физической величины наиболее полные сведения о погрешностях измерения дает описание результатов измерений с помощью функций распределения – интегральной (F(х)) и дифференциальной (р(х)), а также моментов распределения – математического ожидания и дисперсии.

Это позволяет оценить значение измеряемой величины и степень рассеивания результатов измерения около математического ожидания.

Точечные оценки

Обычно для оценки истинного значения измеряемой величины применяют математическое ожидание. На практике, при точечных оценках (т.е.тех, которые используются вместо истинных значений) математическое ожидание определяется как среднее арифметическое значение:

(1)

Степень рассеяния результатов вокруг математического ожидания (при точечных оценках ) оценивается средним квадратическим отклонением (СКО) _х или дисперсией

, (2)

_i=X_i- (3)

_i.- это отклонение результата измерения X_i от действительного значения.

иногда называют эмпирической дисперсией.

Однако среднее арифметическое, которое является результатом сложения случайных величин , также является случайной величиной и отличается от действительного значения. Следовательно, среднее арифметическое тоже имеет дисперсию.

Результаты отдельных измерений представляют собой взаимозависимые случайные величины. Тогда по закону больших чисел , а среднее квадратическое отклонение от среднего арифметического значения:

(4)

Результат, измерения при полученных точечных оценках ,_х записывают в следующем виде: .

Интервальные оценки

Для большинства многократных измерений физической величины (ФВ) случайные значения распределяются по нормальному закону:

(5)

или, учитывая формулу (2):

(6)

Если принять значение за аргумент t, то функция распределения будет иметь следующий вид

(7)

Рисунок 1

Таким образом, погрешность можно выразить некоторым количеством среднеквадратических отклонений 

(9)

Вероятность того, что результат однократного наблюдения Х_i окажется в интервале [-t_p; + t_p;] можно определить интегрированием дифференциальной функции распределения в пределах  t_p

(10)

Предельные значения случайных величин [ -t_p; + t_p;] называют доверительными границами результата наблюдения, а вероятность Р - доверительной вероятностью того, что результат однократного измерения окажется в пределах указанных границ (в доверительном интервале)

Рисунок 2

Чем меньше доверительный интервал, тем меньше вероятность попадания в него результата измерения

Например, при

-Х	Р=0,683
-2Х2	Р=0,954
-3Х3	Р=0,9973

Наиболее часто при расчете погрешностей используется интервал 3, так как вероятность того, что погрешность окажется больше 3, практически равна нулю (см. рисунок 1).

Эта закономерность носит название закона трех сигм

На практике количество замеров (n) обычно не превышает 10 – 15. Для этого случая используют распределение Стьюдента.

Плотность вероятности по закону Стьюдента зависит не только от значения случайной погрешности, но и от числа измерений (n). Доверительный интервал и доверительная вероятность также зависит от числа измерений.

Результат измерения при интервальных оценках может быть записан в следующей форме:

,

где - среднее арифметическое значение

t_c – коэффициент Стьюдента

- среднее квадратическое отклонение от среднего арифметического значения