Современное и наращенное значение ренты

Наращенным значением (суммой) ренты называют сумму, эквивалентную множеству всех выплат в конце всего срока ренты.

Современным значением ренты называют денежную сумму, эквивалентную множеству всех выплат в начальный момент ренты.

Для обычной ренты современное значение определяется за один период до первой выплаты, а наращенное значение — в момент последней выплаты.

. Предположим, что t₀ = 0, период ренты Т = 1 год, а все члены ренты постоянны и равны R, р - номинальная процентная ставка начисления сложных процентов, n-длительность (срок) ренты. Пусть R(n) - наращенное значение простой обычной ренты, состоящей из n - выплат (годов), каждая из которых равна R. Записывая уравнение эквивалентности для даты последней выплаты, получаем:

R(n) = R + R(1+ p) + R(1+ p)² + … + R(1+ p)^n-1.

Справа стоит сумма n - членов геометрической прогрессии с первым членом R и знаменателем 1+ p = q. По формуле суммы геометрической прогрессии получаем:

R(n) = = . (4)

Выражение

= S _{n, p}

называется множителем наращения простой обычной ренты. Тогда формула (4) примет вид

R(n) = RS _{n, p}

Дисконтированную сумму денежного потока получаем из формулы

Для расчета современного значения аннуитета может быть использована табл.4.

Современное значение бесконечного потока денежных средств определяется по формуле

ПРИМЕР 7. Найти текущее значение и наращенное значение ренты с выплатами по 320 гривен в конце каждого года в течение 24 лет. Проценты начисляются по ставке р = 2%.

Решение. Современное значение R(0) вычислим по формуле , при условии R = 320, n = 24, р = 0,02:

R₂₄ (0) = = 6054,98 гривен .

Наращенное значение

R (24) = = 9734,98 гривен .

Величины R(n), R(0), n, p, q, R, называются параметрами ренты. Зная R, n и р можно найти R(n) или R(0). Аналогично, зная любые три других элемента (параметра) ренты, можно найти остальные параметры.

Амортизация долга

В современной теории и практике термин амортизация означает погашение долга (основной суммы и процентов по нему) последовательностью обычно равных по величине периодических выплат. При этом проценты начисляются на невыплаченный остаток основной суммы долга. Каждая выплата должна полностью покрывать указанные проценты и часть основного долга.

На практике существуют различные варианты платежей и начислений процентов на них.

ПРИМЕР 8. Долг в размере 120000 гривен должен быть выплачен в течение 40 лет. Проценты начисляются из расчета 1,5 % годовых. Тогда, например, для 24 года величина R₂₄ равна

,

а величина процентов к 24 году

величина всех процентов, выплаченных за 24 года равна

Экономическая оценка инвестиционных проектов

Реализация инвестиционных проектов требует отказа от денежных средств сегодня в пользу получения прибыли в будущем. Экономический анализ эффективности планируемых среднесрочных и долгосрочных проектов является сложной задачей. Для выбора наилучших объектов и вариантов вложения средств применяется несколько методик, рассмотрим две из них.

Определение 1. Чистой современной стоимостью (net present value) называется разность между современной стоимостью доходов и современной стоимостью расходов. Если NVP>0, то проект считается прибыльным.

Пример 9. Фирма имеет возможность приобрести новую машину за 10 000 грн. Она собирается использовать ее для выполнения большого заказа, за который получит 7000 грн по истечении двух лет и 5000 грн по истечении трех лет.

Проект подобный этому может быть принят с учетом предполагаемого процента дисконтирования и вычисления затем современных стоимостей потоков входящих и выходящих денег

Является ли эта покупка выгодной, если ставка дисконтирования равна 5%.

Решение. Составим таблицу для подсчета чистой современной стоимости проекта по покупке машины.

Конец года Доходы (в грн) Современная стоимость (в грн)

0 -10000 -10000

2 7000 7000/1,05 ² = 6349,21

3 5000 5000/1,05 ³ = 4319,19

Чистая современная стоимость 668,4 грн

Так как чистая современная стоимость проекта положительна, можно сделать вывод, что покупка новой машины выгодна.

Определение 2. Внутренней нормой доходности ( internal rate of return) проекта или инвестиции называется норма процента р₀, при которой равны современные стоимости расходов и доходов, приведенные на момент t = 0, т.е. при которой проект является бесприбыльным.

Пример.10 .. Найти внутреннюю норму доходности следующего инвестиционного проекта:

Начальные(немедленные) затраты - 100 000 грн

Последующие затраты( начиная с первого года и далее бессрочно) - 50 000 грн ежегодно.

Доходы (по истечении 5 лет и далее ежегодно) – 40 000 грн.

Решение. Внутренняя норма доходности – это значение нормы процента r₀, которое при вычислении чистой современной стоимости проекта, равной разности между современной стоимостью потока доходов и современной стоимостью потока расходов, даст значение равное нулю, т.е. то значение r, которое сбалансирует расходы и доходы. Это значение является решением уравнения

100 000 + (5)

Выражение слева – современная стоимость расходов. Выражение справа – современная стоимость доходов, а уравнение называется – уравнением доходности проекта на момент времени t = 0. Используя формулу суммы геометрической прогрессии из уравнения (5) получаем

,

это уравнение сложно решить аналитически. Используя калькулятор и пробуя несколько значений для r , можно найти приближенное решение r₀  0,05.

Если эффективная рыночная норма процента r = r₀, то для инвестора этот проект бесприбыльный, т.е. он уравнивает его расходы и доходы. Если же r>r₀? , то этот проект нужно отвергнуть. Проект должен быть отвегнут и в том случае, когда инвестору нужно занять деньги под более, чем 5% годовых, чтобы финансировать проект. Если r<r₀? , то проект будет прибыльным.

Если есть возможность выбора проекта и получить доход при ставке процента r>r₀, то из всех проектов следует выбрать тот , у которого r₀.имеет наибольшее значение.

Проиллюстрируем вышесказанное

Норма процента r Современная Современная

стоимость затрат стоимость доходов

0,04 1 350 000 1438 000

0,05 1 100 000 1100 000

0.06 933 300 871 800

При r = 0,04 чистая современная стоимость проекта положительна, проект является прибыльным, при r = 0,06 она отрицательна и, следовательно, проект убыточным.