Проценты за второй месяц будут равны

I₂ = K₁p = 11 0,1 = 1,1 тыс.,

А наращенная сумма равна

K₂ = 11 + 1,1 = 12,1 = 10 ( 1 + 0,1 ) ² тыс.;

Наращенная сумма к концу третьего периода будет равна

К₃ = К₀ ( 1 + р ) ³ = 10 ( 1 + 0,1) ³ = 13,31 тыс.

И наконец

К₄ = К₀ ( 1 + р )⁴ = 10 ( 1 + 0,1 ) ⁴ = 14,641 тыс.

НЕПРЕРЫВНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА

До настоящего момента мы рассматривали только дискретное начисление процентов. Для того, чтобы определить процент как результат непрерывного начисления процентов, найдём наращенное значение на единицу основного капитала К ₀ = 1 по ставке 100% годовых с начислением m – раз в году, т.е. вычислим годовой множитель наращения q^m. Приведём результаты вычислений.

Пусть

• m = 1, т.е. начисление процентов производится ежегодно, тогда

;

• m = 12, т.е. начисление процентов производится ежемесячно,

;

• m = 360, т.е. начисление процентов производится ежедневно

;

Ясно, что коэффициент наращения, а значит и наращенная сумма, увеличиваются с ростом m . Если m  , то

Итак, при непрерывном начислении процентов коэффициент наращения стремится к е.

Обобщим этот результат на случай фиксированной процентной ставки р. Коэффициент наращения за один год в этом случае равен

a тогда за любое время t

И наращенная сумма

K _t = K₀

где t – время в годах (t = n).

ПРИМЕР 4. Найти наращенное значение, если 10.000 гривен инвестированы на 5 лет по номинальной ставке 25% годовых,

1. при начислении процентов один раз в год:

2. при начислении процентов два раза в год (тогда m = 2, n = 5, n m = 10, p₂ = = 12,5%):

3. при непрерывном начислении процентов:

.

Современная стоимость суммы денег

Часто бывает необходимо знать, какую сумму К₀ необходимо вложить сегодня под фиксированные сложные проценты, чтобы получить в определённый момент в будущем заданную сумму К_t. В этом случае сумму К₀ называют современным значением (или приведённым). Разность К_t - К₀ называют сложным дисконтом, а процесс вычисления современного значения называют дисконтированием. Современное значение К_0, при заданных К_n, n и р вычисляется по формуле

. (2)

Формула (2) задает процесс дисконтирования, и в этом смысле величина р интерпретируется как ставка дисконта и часто называется просто дисконтом. При анализе инвестиции величину (1 + р )^-n называют множителем дисконтирования.

Если же используется m начислений процентов в году, при номинальной ставке р, то

.

При непрерывном начислении процентов по ставке р

.

ПРИМЕР 5. Найти современное значение суммы, если наращенное значение через три года составит 70.000 гривен, а проценты начисляются

1. п о ставке 14% в год.

Тогда n = 3, p = 0,14, K₃ = 70 тыс. и

2. п о ставке 2% в конце каждого квартала.

В данном случае m = 4, p ₄ = 0,02 и

4. по ставке 12% годовых в конце каждого месяца.

В данном случае m = 12, p ₁₂ = 0,01 и m n = 36, а

5. по непрерывной ставке р = 5%.

Тогда

Учет инфляции при определении настоящей и будущей стоимости денег.

При расчетах, связанных с корректировкой денежных потоков в процессе инвестирования с учетом инфляции, принято использовать два основных понятия:

• номинальная сумма денежных средств;

• реальная сумма денежных средств.

Номинальная сумма денежных средств – это оценка суммы денежных средств без учета изменения покупательной стоимости денег.

Реальная сумма денежных средств – это оценка суммы денежных средств с учетом изменения покупательной способности денег в вязи с процессом инфляции.

В процессе оценки инфляции используются два основных показателя: темп инфляции Т , характеризующий прирост среднего уровня цен в рассмотренном периоде, выражаемый десятичной дробью или процентом.

Т = (y_i – y _i-1)/ y _i-1,

когда ведется сравнение с предшествующим периодом, или

T = (y_n – y₁) y _1,

когда сравнивается конечный член временного ряда в n периодов с начальным.

Индекс инфляции I (изменение индекса потребительских цен) равен (1 + Т).

Для корректировки наращенной стоимости используют выражение

K_np = K_n/I_n,

Где K_np– реальная будущая стоимость денег, K_n - номинальная будущая стоимость денег без учета инфляции, I_n = (1 + T)ⁿ - индекс инфляции за периодов. Предполагается, что темп инфляции не меняется.

Если р – номинальная ставка процента, то расчет реальной суммы денег производится по формуле

(3)

где Т – постоянный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за один период. Таким образом номинальная сумма денежных средств снижается в (1+Т)ⁿ раз в соответствии со снижением покупательной способности денег.

Пример 6. Пусть номинальная ставка процента составляет 50%, а ожидаемый темп инфляции в год – 40%. Необходимо определить реальную. Будущую стоимость объема инвестиций в 200 000 грн.

Решение. Подставляя исходные данные в формулу (3), получаем

К_2р = 200 000 (1 + 0,5)²/(1+0,4) ² = 229 000 грн.

Если же в процессе реального развития экономики темп инфляции составит 55%, то

К_2р = 200 000 (1+0,5)²/(1+0,55)² = 187 305 грн.

Таким образом, инфляция «съедает» прибыльность и процесс инвестирования становится убыточным.

Прогнозирование темпов инфляции очень сложный процесс, протекающий на фоне большого количества неопределенных факторов .Поэтому один из наиболее реально значимых подходов может состоять в следующем:

-стоимость инвестируемых средств и суммы денежных средств, обеспечивающих возврат, пересчитываются из национальной валюты в одну из наиболее твердых валют, пересчет осуществляется по биржевому курсу на момент расчетов.;

- конкретная процентная ставка определяется исходя из источника инвестирования.

ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ

Финансовые операции часто носят продолжительный характер и состоят не из разового платежа, а из последовательности, т.е. потока платежей, возможно, разных знаков. Примером могут служить погашение займа, арендная плата, инвестиции в производство или в ценные бумаги, пенсии, получение процентов по облигациям и т.д.

Определение. Если все выплаты Y_k одного знака и происходят через одинаковые интервалы времени Т = t_k - t_k-1, k = 1,2, …, n, то такая последовательность платежей называется финансовой рентой или аннуитетом. Для удобства анализа рент все выплаты будем считать положительными.

Первоначально, рассматривались лишь ежегодные (anno – на латинском языке означает год) выплаты, отсюда и произошло их название «аннуитет». Позднее это слово стало включать и все последовательные выплаты одного знака через любые одинаковые промежутки времени. Если n = , то соответствующая рента называется бессрочной или вечной. Если n = , то соответствующая рента называется бессрочной или вечной. Хотя такая рента может показаться странной, но это случай имеет не только теоретический интерес. Примером здесь могут служить «консоли» – бессрочные облигации британского казначейства, выпущенные в девятнадцатом веке.